I algebra är sekvenser av siffror värdefulla för att studera vad som händer som något blir större eller mindre. En aritmetisk sekvens definieras av den gemensamma skillnaden, vilken är skillnaden mellan ett tal och nästa i sekvensen. För aritmetiska sekvenser är denna skillnad ett konstant värde och kan vara positivt eller negativt. Som ett resultat fortsätter en aritmetisk sekvens att bli större eller mindre med en bestämd mängd varje gång ett nytt nummer läggs till i listan som utgör sekvensen.
TL; DR (för länge, läste inte)
En aritmetisk sekvens är en lista över tal där konsekutiva termer skiljer sig med en konstant mängd, den vanliga skillnaden. När den gemensamma skillnaden är positiv fortsätter sekvensen att öka med en bestämd mängd, medan om den är negativ, minskar sekvensen. Andra vanliga sekvenser är den geometriska sekvensen, i vilken termer skiljer sig från en gemensam faktor och Fibonacci-sekvensen, där varje tal är summan av de två föregående siffrorna.
Hur en aritmetisk sekvens fungerar
En aritmetisk sekvens definieras av ett startnummer, en vanlig skillnad och antalet termer i sekvensen. Exempelvis är en aritmetisk sekvens som börjar med 12 en gemensam skillnad på 3 och fem termer 12, 15, 18, 21, 24. Ett exempel på en minskande sekvens är en som börjar med nummer 3, en gemensam skillnad på -2 och sex villkor. Denna sekvens är 3, 1, -1, -3, -5, -7.
Aritmetiska sekvenser kan också ha ett oändligt antal termer. Till exempel skulle den första sekvensen ovan med ett oändligt antal termer vara 12, 15, 18, ... och den sekvensen fortsätter till oändlighet.
Aritmetisk medelvärde
En aritmetisk sekvens har en motsvarande serie som lägger till alla villkor i sekvensen. När villkoren läggs till och summan divideras med antalet termer är resultatet det aritmetiska medelvärdet eller medelvärdet. Formeln för det aritmetiska medelvärdet är (summan av n termer) ÷ n.
En snabb metod att beräkna medelvärdet av en aritmetisk sekvens är att använda observationen att när de första och sista termerna läggs till summan är densamma som när den andra och bredvid sista termerna läggs till eller den tredje och tredje till sista termerna. Som ett resultat är summan av sekvensen summan av de första och sista termerna, halva antalet termer. För att få medelvärdet delas summan av antalet termer, så medelvärdet av en aritmetisk sekvens är halva summan av de första och sista termerna. För n termer a 1 till a n, är motsvarande formel för medelvärdet m = (a 1 + a n) ÷ 2. Oändliga aritmetiska sekvenser har inte en sista term, och därför är deras medel odefinierade. Istället kan ett medelvärde för en delbelopp hittas genom att begränsa summan till ett definierat antal termer. I så fall kan partiell summan och dess medelvärde hittas på samma sätt som för en oändlig sekvens. Andra typer av sekvenser Sekvenser av siffror är ofta baserade på observationer från experiment eller mätningar av naturfenomen. Sådana sekvenser kan vara slumpmässiga tal men ofta ser sekvenser ut som aritmetiska eller andra ordnade listor med tal. Geometriska sekvenser skiljer sig exempelvis från aritmetiska sekvenser eftersom de har en gemensam faktor snarare än en vanlig skillnad. Istället för att ha ett tal tillagt eller subtraherat för varje ny term, multipliceras eller delas ett tal varje gång en ny term läggs till. En sekvens som är 10, 12, 14, ... som en aritmetisk sekvens med en gemensam skillnad på 2 blir 10, 20, 40, ... som en geometrisk sekvens med en gemensam faktor av 2. Andra sekvenser följer helt olika regler. Exempelvis bildas Fibonacci-sekvensvillkoren genom att lägga till de föregående två talen. Sekvensen är 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... Villkoren måste läggas till för att få en del summa eftersom den snabba metoden för att lägga till de första och sista termerna inte fungerar för denna sekvens. Aritmetiska sekvenser är enkla men de har verkliga applikationer. Om utgångspunkten är känd och den gemensamma skillnaden kan hittas, kan seriens värde vid en viss punkt i framtiden beräknas och medeltalet kan också bestämmas.
