Medan de engelska orden "sekvens" och "serie" har liknande betydelser, är de helt olika begrepp i matematiken. En sekvens är en lista över tal som placeras i en definierad ordning medan en serie är summan av en sådan lista med siffror. Det finns många sorters sekvenser, inklusive de som bygger på oändliga nummerförteckningar. Olika sekvenser och motsvarande serier har olika egenskaper och kan ge överraskande resultat.

TL; DR (för länge, läste inte)

Sekvenser är listor över tal i en bestämd ordning enligt till givna regler. Serien som motsvarar en sekvens är summan av talen i den sekvensen. Serien kan vara aritmetisk, vilket betyder att det finns en fast skillnad mellan serienummer eller geometriska, vilket betyder att det finns en fast faktor. Oändliga serier har inget slutligt tal men kan fortfarande ha en fast summa under vissa förutsättningar.

Typer av sekvenser och serier

Vanliga sekvenser är aritmetiska eller geometriska. I en aritmetisk sekvens skiljer sig varje sekvens eller sekvens från den tidigare termen med samma mängd. Om exempelvis en aritmetisk sekvensskillnad är 2, kan en motsvarande aritmetisk sekvens vara 1, 3, 5 .... Om skillnaden är -3, kan en sekvens vara 4, 1, -2 .... Den aritmetiska sekvensen definieras av startnumret och skillnaden.

För geometriska sekvenser skiljer sig termerna med en faktor. Exempelvis kan en sekvens med en faktor 2 vara 2, 4, 8 ... och en sekvens med en faktor på 0,75 kan vara 32, 24, 18 .... Den geometriska sekvensen definieras av utgångsnumret och faktor.

Serietyperna beror på sekvensen som läggs till. En aritmetisk serie lägger till en aritmetisk sekvens och en geometrisk serie lägger till en geometrisk sekvens.

Slutliga och oändliga sekvenser och serier

Sekvenser och motsvarande serier kan baseras på ett fast tal av termer eller ett oändligt antal. En ändlig sekvens har ett startnummer, en skillnad eller en faktor och ett bestämt totalt antal termer. Exempelvis skulle den första aritmetiska sekvensen ovan med åtta termer vara 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Den första geometriska sekvensen ovan med sex termer skulle vara 2, 4, 8, 16, 32, 64 Den motsvarande aritmetiska serien skulle ha ett värde av 64 och den geometriska serien 126. Oändliga sekvenser har inte ett fast antal termer, och deras termer kan växa till oändlighet, minska till noll eller närma sig ett fast värde. Den motsvarande serien kan också ha ett oändligt, noll eller ett fast resultat.

Konvergent och Divergent Series

Oändliga serier är divergerande om summan närmar sig oändligheten när antalet villkor ökar. En oändlig serie är konvergerande om dess summa närmar sig ett oändligt värde såsom noll eller ett annat fast nummer. Serien är konvergent om villkoren för den underliggande sekvensen snabbt närmar sig noll.

Serien som lägger till villkoren för den oändliga sekvensen 1, 2, 4 ... är divergerande eftersom sekvenserna fortsätter att växa, vilket gör att summan för att nå ett oändligt värde eftersom antalet villkor ökar. Serien 1, 0,5, 0,25 ... är konvergent eftersom villkoren snabbt blir mycket små.

Medan sekvenser beställs är listor av siffror och serier summa, båda kan vara viktiga verktyg för att utvärdera uppsättningar av siffror och Egenskaperna av konvergens eller divergens kan ha verkliga konsekvenser. En divergerande serie representerar ofta ett instabilt tillstånd medan en konvergerande serie ofta innebär att en process eller struktur kommer att vara stabil.