I matematik är ett ömsesidigt tal ett tal som, när det multipliceras med det ursprungliga numret, producerar 1. Till exempel är den ömsesidiga för variabeln x 1 /x eftersom x • 1 /x = x /x = 1. I detta exempel är 1 /x den ömsesidiga identiteten av x och vice versa. I trigonometri kan någon av de icke-90 graders vinklarna i en högra triangel definieras av förhållanden som kallas sinus, cosinus och tangent. Med tillämpning av begreppet ömsesidiga identiteter definierar matematiker tre ytterligare förhållanden. Deras namn är kosecant, sekant och cotangent. Cosecant är den ömsesidiga identiteten av sinus, secant den av cosinus och cotangent den av tangent.
Så här bestämmer du ömsesidiga identiteter
Tänk på en vinkel θ, som är en av de två icke-90- graders vinklar i en rätt triangel. Om längden på sidan av triangeln motsatt vinkeln är "b" är längden på sidan intill vinkeln och motsatt hypotenuserna "a" och längden på hypotenusen "r" kan vi definiera de tre primära trigonometriska förhållanden i termer av dessa längder.
Den ömsesidiga identiteten av sin θ måste vara lika med 1 /sin θ, eftersom det är numret som multipliceras med synden θ, producerar 1. Detsamma gäller för cos θ och tan θ. Matematiker ger dessa reciprocals namnen cosecant, secant och cotangent respektive. Enligt definition:
Du kan definiera dessa ömsesidiga identiteter i längden på sidorna i den högra triangeln på följande sätt:
< li> csc θ = r /b
Följande förhållanden är sanna för alla vinklar θ:
Två andra trigonometriska identiteter
Om du vet sinus och cosinus av en vinkel kan du härleda tangenten. Detta är sant eftersom synden θ = b /r och cos θ = a /r, så synden θ /cos θ = (b /r • r /a) = b /a. Eftersom detta är definitionen av tan θ följer följande identitet, känd som kvotidentitet:
Den pythagoranska identiteten härrör från det faktum att följande rätt gäller för en rätt triangel med sidorna a och b och hypotenuse r: a 2 + b 2 = r 2. Omarrangera termer och definiera förhållanden när det gäller sinus och cosinus kommer du fram till följande uttryck: Synd 2 θ + cos 2 θ = 1 Två andra viktiga relationer följ när du sätter in ömsesidiga identiteter för sinus och cosinus i ovanstående uttryck:
