En periodisk funktion är en funktion som upprepar sina värden med regelbundna intervaller eller "perioder". Tänk på det som ett hjärtslag eller den underliggande rytmen i en sång: Den upprepar samma aktivitet på en stadig slå. Grafen för en periodisk funktion ser ut som ett enda mönster upprepas om och om igen.

TL; DR (för länge, läste inte)

En periodisk funktion upprepar sina värden på regelbundna intervaller eller "perioder".

Typer av periodiska funktioner

De mest kända periodiska funktionerna är trigonometriska funktioner: sinus, cosinus, tangent, cotangent, secant, cosecant etc. Andra exempel på periodiska funktioner i naturen inkluderar ljusa vågor, ljudvågor och månens faser. Vart och ett av dessa, när de är grafiska på koordinatplanet, gör ett repeterande mönster i samma intervall, vilket gör det enkelt att förutsäga.

Perioden för en periodisk funktion är intervallet mellan två "matchande" punkter i diagrammet . Med andra ord är det avståndet längs x-axeln som funktionen måste resa innan den börjar repetera mönstret. De grundläggande sinus- och cosinusfunktionerna har en period på 2π, medan tangent har en period av π.

Ett annat sätt att förstå period och upprepning för trigfunktioner är att tänka på dem när det gäller enhetens cirkel. På enhetens cirkel går värden runt och runt cirkeln när de ökar i storlek. Den repetitiva rörelsen är samma idé som återspeglas i det regelbundna mönstret av en periodisk funktion. Och för sinus och cosinus måste du göra en full väg runt cirkeln (2π) innan värdena börjar repeteras.

Ekvation för en periodisk funktion

En periodisk funktion kan också definieras som en ekvation med denna form:

f (x + nP) = f (x)

Där P är perioden (en icke-noll konstant) och n är ett positivt heltal.

Du kan till exempel skriva sinusfunktionen på följande sätt:

sin (x + 2π) = sin (x)

n = 1 i det här fallet och perioden, P, för en sinusfunktion är 2π.

Testa det genom att prova ett par värden för x, eller titta på diagrammet: Välj ett x-värde och rör sedan 2π i båda riktningarna längs x-axeln ; y-värdet borde vara detsamma.

Försök nu när n = 2:

sin (x + 2 (2π)) = sin (x)

sin (x + 4π) = sin (x).

Beräkna för olika värden av x: x = 0, x = π, x = π /2, eller kolla på grafen.

Cotangent-funktionen följer samma regler, men dess period är π radianer istället för 2π radianer, så dess graf och dess ekvation ser så här ut:

cot (x + nπ) = cot (x)

Observera att tangent- och cotangentfunktioner är periodiska, men de är inte kontinuerliga: Det finns "raster" i deras grafer.