Precis som i algebra, när du börjar lära dig trigonometri samlar du uppsättningar av formler som är användbara för problemlösning. En sådan uppsättning är halvvinkelidentiteterna, som du kan använda för två ändamål. En är att omvandla trigonometriska funktioner av (θ /2) till funktioner när det gäller de mer bekanta (och lättare manipulerade) θ. Den andra är att hitta det verkliga värdet av de trigonometriska funktionerna i θ, när θ kan uttryckas som hälften av en mer välkänd vinkel.
Granska halvvinkliga identiteter
Många mattehandböcker kommer att lista fyra primära halvvinkelidentiteter. Men genom att tillämpa en blandning av algebra och trigonometri kan dessa ekvationer masseras till ett antal användbara former. Du behöver inte nödvändigtvis memorera alla dessa (om inte din lärare insisterar), men du borde åtminstone förstå hur man använder dem:
Halvvinkelidentitet för sinne
< li> sin (θ /2) = ± √ [(1 - cosθ) /2]
Halvvinkelidentitet för Cosine
Halvvinkliga identiteter för tangent
Halvvinkliga identiteter för Cotangent
Ett exempel på att använda halvvinkliga identiteter
Så hur använder du halvvinkelidentiteter? Det första steget är att erkänna att du arbetar med en vinkel som är hälften av en mer välkänd vinkel.
Hitta θ
Föreställ dig att du blir ombedd att hitta sinus i vinkeln 15 grader . Detta är inte en av de vinklar de flesta studenter kommer att memorera värdena för trigfunktioner för. Men om du låter 15 grader vara lika med θ /2 och sedan löser för θ, hittar du det:
θ /2 = 15
θ = 30
Eftersom de resulterande 6, 30 graderna är en mer välkänd vinkel, kommer det att vara användbart med hjälp av halvvinkelformeln.
Välj en halvvinkelformel
Eftersom du har blivit ombedd att hitta sinusen, det finns egentligen bara en halvvinkelformel att välja mellan:
sin (θ /2) = ± √ [(1 - cosθ) /2]
Att ersätta θ /2 = 15 grader och θ = 30 grader ger dig:
synd (15) = ± √ [(1 - cos (30)) /2]
Om du hade blivit ombedd att hitta tangent eller cotangent, båda som hälften multiplicerar sätt att uttrycka sin halvvinkelidentitet, du skulle helt enkelt välja den version som såg lättast att arbeta.
Lös upp ± Sign
The ± tecken i början av några halvvinkelidentiteter betyder att den aktuella roten kan vara positiv eller negativ. Du kan lösa denna tvetydighet genom att använda din kunskap om trigonometriska funktioner i kvadranter. Här är ett snabbt sammanfattade av vilka trig-funktioner returnerar positiva värden där kvadranter: Eftersom i detta fall din vinkel θ representerar 30 grader, som faller i kvadrant I vet du att det sinusvärde det returnerar blir positivt. Så du kan släppa ± tecknet och helt enkelt utvärdera: sin (15) = √ [(1 - cos (30)) /2] Byt de kända värdena Substitut i det välkända, kända värdet av cos (30). Använd i så fall de exakta värdena (i motsats till decimala approximationer från ett diagram): sin (15) = √ [(1 - √3 /2) /2] Förenkla Din ekvation Förenkla sedan höger sida av din ekvation för att hitta ett värde för synden (15). Börja med att multiplicera uttrycket under radikalen med 2/2, vilket ger dig: sin (15) = √ [2 (1 - √3 /2) /4] Detta förenklar till: sin (15) = √ [(2 - √3) /4] Du kan sedan fakta ut kvadratroten av 4: synd ) = (1/2) √ (2 - √3) I de flesta fall handlar det om så mycket som du skulle förenkla. Medan resultatet kanske inte är hemskt vackert, har du översatt sinusen av en okänd vinkel till en exakt kvantitet.
