• Home
  • Kemi
  • Astronomien
  • Energi
  • Naturen
  • Biologi
  • Fysik
  • Elektronik
  •  science >> Vetenskap >  >> Andra
    Hur man integrerar fyrkantiga rotfunktioner

    Integreringsfunktioner är en av de viktigaste applikationerna för kalkylen. Ibland är detta enkelt, som i:

    F (x) \u003d ∫ (x 3 + 8) dx

    I ett jämförelsevis komplicerat exempel av denna typ kan du använda en version av grundformeln för att integrera obestämda integraler:

    ∫ (x n + A) dx \u003d x (n + 1) /(n + 1) + An + C,

    där A och C är konstanter.

    Således för detta exempel,

    ∫ x 3 + 8 \u003d x 4/4 + 8x + C.
    Integration av grundläggande fyrkantiga rotfunktioner

    På ytan är det svårt att integrera en kvadratrotfunktion. Till exempel kan du stymmas av:

    F (x) \u003d ∫ √ [(x 3) + 2x - 7] dx

    Men du kan uttrycka en kvadratrot som en exponent, 1/2:

    √ x 3 \u003d x 3 (1/2) \u003d x (3/2)

    Integralen blir därför :

    ∫ (x 3/2 + 2x - 7) dx

    som du kan använda den vanliga formeln från ovan:

    \u003d x (5/2) /(5/2) + 2 (x 2/2) - 7x

    \u003d (2/5) x (5/2) + x 2 - 7x - Integrering av mer komplexa fyrkantiga rotfunktioner

    Ibland kan du ha mer än en term under radikaltecknet, som i detta exempel:

    F (x) \u003d ∫ [(x + 1) /√ (x - 3)] dx

    Du kan använda u-substitution för att fortsätta. Här ställer du u lika med kvantiteten i nämnaren:

    u \u003d √ (x - 3)

    Lös detta för x genom att kvadratera båda sidorna och subtrahera:

    u 2 \u003d x - 3

    x \u003d u 2 + 3

    Detta gör att du kan få dx i termer av u genom att ta derivatet av x:

    dx \u003d (2u) du

    Att ersätta tillbaka till den ursprungliga integralen ger

    F (x) \u003d ∫ (u 2 + 3 + 1) /udu

    \u003d ∫ [(2u 3 + 6u + 2u) /u] du

    \u003d ∫ (2u 2 + 8) du

    Nu kan du integrera detta använder den grundläggande formeln och uttrycker u i form av x:

    ∫ (2u 2 + 8) du \u003d (2/3) u 3 + 8u + C

    \u003d (2/3) [√ (x - 3)] 3 + 8 [√ (x - 3)] + C

    \u003d (2/3) (x - 3) (3/2) + 8 (x - 3) (1/2) + C

    © Vetenskap https://sv.scienceaq.com