En kvadratisk ekvation är en som innehåller en enda variabel och vari variabeln är kvadrerad. Standardformuläret för denna typ av ekvation, som alltid producerar en parabola när den är grafad, är ax
<sup>2 + bx
+ c
= 0, där < em> a
, b
och c
är konstanter. Att hitta lösningar är inte så enkel som det är för en linjär ekvation, och en del av anledningen är att det på grund av den kvadrerade termen finns alltid två lösningar. Du kan använda en av tre metoder för att lösa en kvadratisk ekvation. Du kan faktor villkoren, som fungerar bäst med enklare ekvationer, eller du kan slutföra torget. Den tredje metoden är att använda den kvadratiska formeln, som en generaliserad lösning för varje kvadratisk ekvation.</sup>

Den kvadratiska formeln

För en generell kvadratisk ekvation av formuläret ax
< sup> 2 + bx
+ c
= 0, lösningarna ges med följande formel:

x
= [- b
± √ ( b
^{2 - 4_ac_)] ÷ 2_a_}

Observera att ± -skylten inuti parentesen innebär att det alltid finns två lösningar. En av lösningarna använder [- b
+ √ ( b
<sup>2 - 4_ac_)] ÷ 2_a_, och den andra lösningen använder [- b
- √ ( b
2 - 4_ac_)] ÷ 2_a_.</sup>

Använd den kvadratiska formeln

Innan du kan använda den kvadratiska formeln måste du göra visst att ekvationen är i standardform. Det kan inte vara. Vissa x
^{2 termer kan vara på båda sidor av ekvationen, så du måste samla dem på höger sida. Gör detsamma med alla x-termer och konstanter.}

Exempel: Hitta lösningarna till ekvationen 3_x_ ^{2 - 12 = 2_x _ ( x
-1).}

Konvertera till standardformulär

Expanda parenteserna:

3_x_ ^{2 - 12 = 2_x_ 2 - 2_x_}

Subtrahera 2_x_ ^{2 och från båda sidor. Lägg till 2_x_ på båda sidor}

3_x_ ^{2 - 2_x_ 2 + 2_x_ - 12 = 2_x_ 2 -2_x_ 2 -2_x_ + 2_x_}

3_x_ < sup> 2 - 2_x_ ^{2 + 2_x_ - 12 = 0}

x
^{2 - 2_x_ -12 = 0}

Denna ekvation finns i standardform ax
<sup>2 + bx
+ c
= 0 var a
= 1, b
= -2 och c
= 12</sup>

Anslut värdena a, b och c till den kvadratiska formeln

Den kvadratiska formeln är

x
= [- b
± √ ( b
^{2 - 4_ac_)] ÷ 2_a_}

Eftersom a
= 1, < em> b
= -2 och c
= -12, blir detta

x
= [- (-2) ± √ {(-2) ^{2 - 4 (1 × -12)}] 2 (1)}

Förenkla

x
= [2 ± √ {4 + 48}] ÷ 2.

x
= [2 ± √52] ÷ 2

x
= [2 ± 7,21] ÷ 2

x
= 9.21 ÷ 2 och x
= -5.21 ÷ 2

x
= 4.605 och x
= -2.605

Två andra sätt att lösa kvadratiska ekvationer

Du kan lösa kvadratiska ekvationer genom factoring. För att göra detta, gissar du mer eller mindre vid ett par tal som, när de läggs ihop, ger konstanten b
och, när de multipliceras tillsammans, ger konstanten c
. Denna metod kan vara svårt när bråk är inblandade. och skulle inte fungera bra för ovanstående exempel.

Den andra metoden är att slutföra torget. Om du har en ekvation är standardformuläret, ax
<sup>2 + bx
+ c
= 0, sätt c
till höger sida och lägg till termen ( b
/2) 2 på båda sidor. Detta låter dig uttrycka vänster sida som ( x
+ d
) 2, där d
är en konstant. Du kan sedan ta kvadratroten på båda sidor och lösa på x
. Återigen är ekvationen i det ovanstående exemplet lättare att lösa med den kvadratiska formeln.</sup>