När du presenteras med en matris i en matte- eller fysikklass, blir du ofta ombedd att hitta egna värden. Om du inte är säker på vad det betyder eller hur man gör det är uppgiften skrämmande, och det innebär många förvirrande terminologier som gör saker ännu värre. Processen att beräkna egenvärden är emellertid inte alltför utmanande om du är bekväm med att lösa kvadratiska (eller polynomiska) ekvationer, förutsatt att du lär dig grunderna i matriser, egenvärden och egenvektorer.

Matriser, Eigenvalues ​​och Eigenvectors: Vad de menar

Matriser är arrays av tal där A står för namnet på en generisk matris, så här:

(
1 3 )

A
= (4 2)

Numren i varje position varierar, och det kan till och med vara algebraiska uttryck i deras ställe. Det här är en 2 × 2 matris, men de kommer i olika storlekar och har inte alltid lika många rader och kolumner.

Att hantera matriser skiljer sig från att hantera vanliga tal och det finns specifika regler för att multiplicera, dela, lägga till och subtrahera dem från varandra. Termerna "egenvärde" och "egenvektor" används i matrisalgebra för att referera till två karakteristiska kvantiteter med avseende på matrisen. Detta egetvärdeproblem hjälper dig att förstå vad termen betyder:

A
∙ v = λ ∙ v

A är en allmän matris som tidigare, v är en vektor och λ är ett karaktäristiskt värde. Titta på ekvationen och märk att när du multiplicerar matrisen med vektorn v, är effekten att reproducera samma vektor bara multiplicerad med värdet λ. Detta är ovanligt beteende och tjänar vektorn v och kvantiteten A speciella namn: egenvektorn och egenvärdet. Dessa är karakteristiska värden för matrisen eftersom att multiplicera matrisen med egenvektorn lämnar vektorn oförändrad från multiplikation med en faktor av egenvärdet.

Hur man beräknar egnavärden

Om du har egenvärdesproblemet för matrisen i någon form är det enkelt att hitta egenvärdet (eftersom resultatet blir en vektor som den ursprungliga, utom multiplicerad med en konstant faktor - egenvärdet). Svaret finns genom att lösa den karakteristiska ekvationen för matrisen:

det (A - λ I
) = 0

Där är jag identitetsmatrisen, som är tom bortsett från en serie 1s som kör diagonalt ner i matrisen. "Det" avser matrisens determinant, som för en allmän matris:

(ab)

A
= (cd)

Är given av

det A = ad -bc

Så den karakteristiska ekvationen betyder:

(a - λb)

det (A - λ < b> I
) = (cd - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0

Som exempelmatris, låt oss definiera A som:

(0-1)

A
= (-2 -3)

Så betyder det:

det (A - λ I
) = (0 - λ) (- 3 - A) - (1 × -2) = 0

= -λ (-3 - A) + 2

= A < sup> 2 + 3 λ + 2 = 0

Lösningarna för λ är egenvärdena, och du löser detta som någon kvadratisk ekvation. Lösningarna är λ = - 1 och λ = - 2.

TL; DR (för länge, läste inte)

I enkla fall är egenvärdena enklare att hitta. Till exempel, om elementen i matrisen är alla noll från en rad på den främre diagonalen (från vänster till vänster till höger), verkar diagonalelementen som egenvärden. Men metoden ovan fungerar alltid.

Hitta Eigenvectors

Hitta egenvektorerna är en liknande process. Använda ekvationen:

(A - λ) ∙ v = 0

med var och en av de egna värdena du hittat i sin tur. Detta betyder:

(a - λb) (v _{1) (a - λ) v 1 + bv 2 (0)}

λ) ∙ v = (cd-λ) ∙ (v _{2) = cv 1 + (d - λ) v 2 = (0)}

Du kan lösa detta genom att med tanke på varje rad i sin tur. Du behöver bara förhållandet v
_{1 till v
2, eftersom det kommer att finnas oändligt många potentiella lösningar för v
1 och v
2.}