Om du gillar matematiska odditeter, kommer du att älska Pascals triangel. Uppkallad efter fransk matematiker Blaise Pascal från 1700-talet, och känd för kineserna i många århundraden före Pascal som Yanghui-triangeln, är det faktiskt mer än en udda. Det är ett specifikt arrangemang av siffror som är otroligt användbar i algebra och sannolikhetsteori. Några av dess egenskaper är mer förbryllande och intressanta än de är användbara. De hjälper till att illustrera världens mystiska harmoni som beskrivs av tal och matematik.

TL; DR (för länge, läste inte)

Pascal härledde triangeln genom att expandera (x + y) ^ n för att öka värdena på n och arrangera koefficienterna för termerna i ett triangulärt mönster. Det har många intressanta och användbara egenskaper.

Konstruera Pascals triangel

Regeln för att bygga Pascals triangel kan inte vara enklare. Börja med nummer ett vid toppen och bilda den andra raden under den med ett par. För att konstruera den tredje och alla efterföljande raderna börjar du med att sätta en i början och i slutet. Avleda varje siffra mellan det här paret genom att lägga till de två siffrorna omedelbart ovanför den. Den tredje raden är således 1, 2, 1, den fjärde raden är 1, 3, 3, 1, den femte raden är 1, 4, 6, 4, 1 och så vidare. Om varje siffra upptar en ruta som är lika stor som alla andra lådor, bildar arrangemanget en perfekt ekvateral trekant avgränsad på två sidor av en och med en bas lika lång som radets längd. Raden är symmetriska genom att de läser samma bakåt och framåt.

 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 
 Tillämpa Pascals triangel i algebra 
 
 Pascal upptäckte triangeln, som hade känt i århundraden för persiska och kinesiska filosofer, när han studerade algebraisk expansion av uttrycket (x + y)  n. När du expanderar detta uttryck till nth effekten motsvarar koefficienterna för villkoren i expansionen numren i den tredje raden i triangeln. Till exempel (x + y)  0 = 1; (x + y)  1 = x + y; (x + y)  2 = x  2 + 2xy + y  2 och så vidare. Av denna anledning kallar matematiker ibland arrangemanget triangeln av binomialkoefficienter. För ett stort antal n är det uppenbarligen lättare att läsa expansionskoefficienterna från triangeln än vad det är att beräkna dem. 
 
 Pascals triangel i sannolikhetsteori 
 
 Antag att du slänger ett mynt ett visst antal gånger. Hur många kombinationer av huvud och svans kan du få? Du kan ta reda på genom att titta på raden i Pascals triangel som motsvarar hur många gånger du slänger myntet och lägger till alla siffror i den raden. Till exempel, om du kasta myntet 3 gånger, finns det 1 + 3 + 3 + 1 = 8 möjligheter. Sannolikheten att få samma resultat tre gånger i rad är därför 1/8. 
 
 På samma sätt kan du använda Pascals triangel för att hitta hur många sätt du kan kombinera objekt eller val från en given uppsättning. Antag att du har 5 bollar, och du vill veta hur många sätt du kan välja två av dem. Bara gå till femte raden och titta på den andra posten för att hitta svaret, vilket är 5. 
 
 Intressanta mönster 
 
 Pascals triangel innehåller ett antal intressanta mönster. Här är några av dem: 
 
 
 Summan av siffrorna i varje rad är dubbelt summan av siffrorna i raden ovan. 
 
 
 
 Läser ner vardera sidan, den första raden är alla, den andra raden är antalet räkningar, den tredje är de trekantiga siffrorna, den fjärde tetrahedralen och så vidare. 
 
 
 
 Varje rad bildar motsvarande exponent av 11 efter en enkel ändring. 
 
 
 
 Du kan härleda Fibonacci-serien från det triangulära mönstret. 
 
 
 
 Att färga alla udda tal och jämnt antal olika färger ger ett visuellt mönster som kallas Sierpinski-triangeln.