De flesta människor kommer ihåg den pythagoranska stolen från nybörjargeometrin - det är en klassiker. Det är en
^{2 + b
2 = c
2, där en
, b
och c
är sidorna av en rätt triangel ( c
är hypotenuse). Tja, DR (för länge, läste inte)}

TL; DR (för länge, läste inte)
, den här stolen kan också skrivas om för trigonometri!

TL; Pythagoranska identiteter är ekvationer som skriver Pythagoras teorem när det gäller trigfunktionerna.

De viktigaste pythagoranska identiteterna är:

sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) = 1}

1 + tan ^{2 ( θ
) = sec 2 ( θ
)}

1 + cot ^{2 ( θ
) = csc 2 ( θ
)}

Pythagorean identiteter är exempel på trigonometriska identiteter: likheter (ekvationer) som använder trigonometriska funktioner.

Varför betyder det?

De pythagoranska identiteterna kan vara mycket användbara för att förenkla komplicerade trigsättningar och ekvationer. Minns dem nu, och du kan spara mycket tid på vägen!

Bevis på definitionerna av trigfunktionerna

Dessa identiteter är ganska enkla att bevisa om du tänker på definitionerna av trigfunktionerna. Låt oss till exempel bevisa att synden ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) = 1.}

Kom ihåg att definitionen av sinus är motsatt sida /hypotenus, och den cosinus är närliggande sida /hypotenus.

Så synd ^{2 = motsatt 2 /hypotenuse 2}

Och cos ^{2 = angränsande 2 /hypotenuse 2}

Du kan enkelt lägga till dessa två tillsammans eftersom beteckningarna är desamma.

sin ^{2 + cos 2 = (motsatt 2 + intill 2) /hypotenuse 2}

Ta en ny titt vid den pythagoranska stolen. Det står att en
<sup>2 + b
2 = c
2. Tänk på att en
och b
står för motsatta och intilliggande sidor, och c
står för hypotenusen.</sup>

Du kan omorganisera ekvation genom att dela båda sidorna av c
^2:

a
^{2 + b
2 = c
2}

( en
^{2 + b
2) / c
2 = 1}

Eftersom a
^{2 och b
2 är motsatta och intilliggande sidor och c
2 är hypotenusen, du har ett ekvivalent uttalande till ovanstående med (motsatt 2 + intilliggande 2) /hypotenuse 2. Och tack vare arbetet med en
, b
, c
och Pythagorasatsen, kan du nu se detta uttalande är lika med 1!}

Så (motsatt ^{2+ intill 2) /hypotenuse 2 = 1,}

och därför: synd ^{2 + cos 2 = 1.}

(Och det är bättre att skriva det ordentligt: ​​synd ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) = 1).}

De ömsesidiga identiteterna

Låt oss lägga till några minuter när vi tittar på de ömsesidiga identiteterna. Kom ihåg att den ömsesidiga är en delad av ("över") ditt nummer - även känt som den inverse.

Eftersom cosecant är ömsesidigt av sinus, csc ( θ
) = 1 /synd ( θ
).

Du kan också tänka på cosecant med definitionen av sinus. Till exempel sinus = motsatt sida /hypotenus. Den inverse av det kommer att vara fraktionen vänd upp och ner, vilket är hypotenus /motsatt sida.

På samma sätt är cosinus ömsesidigt sekant, så det definieras som sek ( θ
) = 1 /cos ( θ
) eller hypotenus /intilliggande sida.

Och tangentens ömsesidiga är cotangent, så cot ( θ
) = 1 /tan ( θ
) eller cot = intilliggande sida /motsatta sida.

Bevis för pythagoranska identiteter som använder sekant och cosecant är mycket liknar sinus och cosinus. Du kan också härleda ekvationerna med "parent" -likvationen, sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) = 1. Dela båda sidorna med cos 2 ( θ
) för att få identiteten 1 + tan 2 ( θ
) = sec 2 ( θ
). Dela upp båda sidorna med sin 2 ( θ
) för att få identiteten 1 + cot 2 ( θ
) = csc 2 ( θ
).}

Lycka till och var noga med att memorera de tre pythagoranska identiteterna!