Matematiska funktioner är kraftfulla verktyg för affärer, teknik och naturvetenskap eftersom de kan fungera som miniatyrmodeller av verkliga fenomen. För att förstå funktioner och relationer måste du gräva lite i begrepp som uppsättningar, beställda par och relationer. En funktion är en speciell typ av relation som bara har ett y-värde för ett givet x-värde. Andra slags relationer finns som ser ut som funktioner men uppfyller inte den strikta definitionen av en.

TL; DR (för länge, läste inte)

Ett förhållande är en uppsättning av Antal organiseras i par. En funktion är en speciell typ av relation som bara har ett y-värde för ett givet x-värde.

Satser, beställda par och relationer

För att beskriva relationer och funktioner bidrar det till att först diskutera uppsättningar och beställde par. Kortfattat är en uppsättning av siffror en samling av dem, som vanligtvis finns i krökta hängslen, såsom {15,1, 2/3} eller {0, .22}. Vanligtvis definierar du en uppsättning med en regel, som alla jämntal mellan 2 och 10 inklusive: {2,4,6,8,10}.

En uppsättning kan ha ett antal element, eller ingen alls, det vill säga nollstället {}. Ett beställt par är en grupp med två tal som är inneslutna inom parantes, såsom (0,1) och (45, -2). För bekvämligheten kan du ringa det första värdet i ett beställt par x-värdet och det andra y-värdet. Ett förhållande organiserar beställda par i en uppsättning. Exempelvis är uppsättningen {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} en relation. Du kan plotta x- och y-värdena för ett förhållande i ett diagram med x- och y-axlarna.

Förhållanden och funktioner

En funktion är en relation där ett givet x-värde bara har en motsvarande y-värde. Du kanske tror att med beställda par har varje x bara ett y-värde ändå. I exemplet med ett förhållande som anges ovan noteras dock att x-värdena 1 och 2 vardera har två motsvarande y-värden, 0 respektive 5 respektive 10 respektive 15. Denna relation är inte en funktion. Regeln ger funktionen en definitivitet som annars inte existerar, i termer av x-värden. Du kan fråga, när x är 1, vad är y-värdet? För ovanstående förhållande har frågan inget bestämt svar; Det kan vara 0, 5 eller båda.

Undersök nu ett exempel på ett förhållande som är en sann funktion: {(0,1), (1,5), (2,4), (3, 6) )}. X-värdena upprepas inte någonstans. Som ett annat exempel, kolla på {(-1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. Några y-värden upprepas, men detta bryter inte mot regeln. Du kan fortfarande säga att när värdet av x är 0, y är definitivt 5.

Grafikfunktioner: Vertikal linjetest

Du kan se om en relation är en funktion genom att plotta siffrorna på ett diagram och tillämpa det vertikala linjetestet. Om ingen vertikal linje som passerar genom grafen skär den på mer än en punkt är relationen en funktion.

Funktioner som ekvationer

Skriv ut en uppsättning beställda par som en funktion ger en lätt exempel, men blir snabbt tråkigt när du har mer än ett fåtal tal. För att lösa detta problem skriver matematiker funktioner i ekvationer, till exempel y = x ^ 2 - 2x + 3. Med denna kompakta ekvation kan du generera så många beställda par som du vill: Anslut olika värden för x, gör matematik och ut kommer dina y-värden.

Verkliga funktioner i världen

Många funktioner fungerar som matematiska modeller, så att människor kan förstå detaljer om fenomen som annars skulle förbli mystiska. För att ta ett enkelt exempel är distansekvationen för ett fallande objekt d = .5 x g x t ^ 2, där t är tiden i sekunder och g är accelerationen på grund av tyngdkraften. Anslut 9,8 för jordens tyngdkraft i meter per sekund kvadrerad, och du kan hitta avståndet som ett objekt föll när som helst värde. Observera att för alla användbarhet har modeller begränsningar. Exemplet ekvationen fungerar bra för att släppa en stålboll men inte en fjäder eftersom luften saktar ner fjädern.