Schrodinger-ekvationen är den mest grundläggande ekvationen i kvantmekanik, och att lära sig använda den och vad den betyder är avgörande för alla spirande fysiker. Ekvationen är uppkallad efter Erwin Schrödinger, som vann Nobelpriset tillsammans med Paul Dirac 1933 för sina bidrag till kvantfysiken.

Schrodingers ekvation beskriver vågfunktionen hos ett kvantmekaniskt system, som ger sannolik information om placering av en partikel och andra observerbara mängder såsom dess fart. Det viktigaste du kommer att inse om kvantmekanik efter att ha lärt dig om ekvationen är att lagarna i kvantområdet är mycket olika från klassisk mekanik.
Vågfunktionen

Vågfunktionen är en av de viktigaste begreppen inom kvantmekanik, eftersom varje partikel representeras av en vågfunktion. Det ges vanligtvis den grekiska bokstaven psi ( Ψ
), och det beror på position och tid. När du har ett uttryck för vågfunktionen för en partikel, berättar det allt som kan kännas om det fysiska systemet, och olika värden för observerbara mängder kan erhållas genom att applicera en operatör på den.

Kvadratet för vågfunktionens modul berättar sannolikheten för att hitta partikeln vid en position x
vid en viss tid t
. Detta är bara fallet om funktionen är "normaliserad", vilket innebär att summan av kvadratmodulen över alla möjliga platser måste vara lika med 1, det vill säga att partikeln är säker på att vara någonstans
.

Observera att vågfunktionen endast ger sannolik information och att du inte kan förutsäga resultatet av någon observation, även om du kan bestämma genomsnittet för många mätningar.

Du kan använda vågfunktionen för att beräkna ”förväntningsvärdet” för partikelns position vid tiden t
, med förväntningsvärdet som medelvärdet för x
dig skulle få om du upprepade mätningen många gånger.

Återigen berättar det ingenting om en viss mätning. I själva verket är vågfunktionen mer en sannolikhetsfördelning för en enda partikel än något konkret och pålitligt. Genom att använda lämplig operatör kan du också erhålla förväntningsvärden för fart, energi och andra observerbara mängder.
Schrodinger-ekvationen

Schrodinger-ekvationen är en linjär partiell differensekvation som beskriver utvecklingen av ett kvanttillstånd i på liknande sätt som Newtons lagar (särskilt den andra lagen) i klassisk mekanik.

Emellertid är Schrodinger-ekvationen en vågekvation för vågfunktionen hos den aktuella partikeln, och därmed användningen av ekvationen till förutspå det framtida tillståndet för ett system kallas ibland "vågmekanik." Själva ekvationen härrör från energibesparing och är byggd runt en operatör som heter Hamiltonian.

Den enklaste formen av Schrodinger-ekvationen att skriva är:
H Ψ \u003d iℏ \\ frac {\\ parti}} {\\ partiell t}

Där ℏ är den reducerade Plancks konstant (dvs. konstanten dividerad med 2π) och H
är den Hamiltoniska operatören , vilket motsvarar summan av potten tialenergi och kinetisk energi (totalenergi) i kvantsystemet. Hamiltonianen är dock ett ganska långt uttryck, så hela ekvationen kan skrivas som:
- \\ frac {ℏ ^ 2} {2m} \\ frac {\\ partial ^ 2 Ψ} {\\ partiell x ^ 2} + V (x) Ψ \u003d\u003d iℏ \\ frac {\\ partiell}} {\\ partiell t}

Observera att ibland (för uttryckligt tredimensionella problem) är det första partiella derivatet skrivet som den laplaciska operatören ∇ ^{2 . I grund och botten agerar Hamiltonian på vågfunktionen för att beskriva dess utveckling i rum och tid. Men i den tidsoberoende versionen av ekvationen (dvs när systemet inte är beroende av t
) ger Hamiltonian energin i systemet.}

Att lösa Schrodinger-ekvationen innebär att hitta den kvantmekaniska vågfunktionen som tillfredsställer den för en viss situation.
The Time-Dependent Schrodinger Equation |

Den tidsberoende Schrodinger-ekvationen är versionen från föregående avsnitt, och den beskriver utvecklingen av vågen funktion för en partikel i tid och rum. Ett enkelt fall att överväga är en fri partikel eftersom den potentiella energin V
\u003d 0, och lösningen har formen av en plan våg. Dessa lösningar har formen:
Ψ \u003d Ae ^ {kx −ωt}

Där k
\u003d 2π / λ,
λ
är våglängden , och ω
\u003d E
/ℏ.

För andra situationer beskriver den potentiella energidelen i den ursprungliga ekvationen gränsvillkor för den rumsliga delen av vågfunktionen, och den är ofta separerad i en tidsutvecklingsfunktion och en tidsoberoende ekvation.
The Time-Independent Schrodinger Equation

För statiska situationer eller lösningar som bildar stående vågor (som den potentiella brunnen, " partikel i en ruta ”-lösningar), kan du dela vågfunktionen i tids- och rymddelar:
Ψ (x, t) \u003d Ψ (x) f (t)

När du går igenom detta helt, tidsdelen kan avbrytas, vilket lämnar en form av Schrodinger-ekvationen som endast beror på partikelns position. Den tidsoberoende vågfunktionen ges sedan av:
H Ψ (x) \u003d E Ψ (x)

Här E
är energin i det kvantmekaniska systemet och H
är den Hamiltonian operatören. Denna form av ekvationen har den exakta formen av en egenvärdesekvation, varvid vågfunktionen är egenfunktionen och energin är egenvärdet när Hamiltonian-operatören appliceras på den. Expandera Hamiltonian till en mer uttrycklig form, det kan skrivas i sin helhet som:
- \\ frac {ℏ ^ 2} {2m} \\ frac {\\ partial ^ 2 Ψ} {\\ partial x ^ 2} + V ( x) Ψ \u003d E Ψ (x)

Tidsdelen av ekvationen finns i funktionen:
f (t) \u003d e ^ {\\ frac {iEt} {ℏ}} Lösningar för tidsoberoende Schrodinger-ekvation

Den tidsoberoende Schrodinger-ekvationen lämpar sig väl för ganska enkla lösningar eftersom den trimmar ner hela formen av ekvationen. Ett perfekt exempel på detta är "partikel i en låda" -grupp med lösningar där partikeln antas vara i en oändlig kvadratpotential i en dimension, så det finns nollpotential (dvs. V
\u003d 0) hela, och det finns ingen chans att partikeln hittas utanför brunnen.

Det finns också en begränsad fyrkantig brunn, där potentialen vid brunnens "väggar" inte är oändlig och även om det är högre än partikelns energi finns det någon möjlighet att hitta partikeln utanför den på grund av kvanttunnling. För den oändliga potentialbrunnen tar lösningarna formen:
Ψ (x) \u003d \\ sqrt {\\ frac {2} {L}} \\ sin \\ bigg (\\ frac {nπ} {L} x \\ bigg)

Där L
är brunnens längd.

En deltafunktionspotential är ett mycket liknande koncept som den potentiella brunnen, utom med bredden L
som går till noll (dvs. att vara oändligt runt en enda punkt) och djupet på brunnen som går till oändlighet, medan produkten från de två ( U
_{0) förblir konstant. I denna mycket idealiserade situation finns det bara ett bundet tillstånd, givet av:
Ψ (x) \u003d \\ frac {\\ sqrt {mU_0}} {ℏ} e ^ {- \\ frac {mU_0} {ℏ ^ 2} \\ vert x \\ vert}}

Med energi:
E \u003d - \\ frac {mU_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2} Hydrogen Atom Solution to Schrodinger Equation

Slutligen har väteatomlösningen uppenbara tillämpningar på fysik i verkligheten, men i praktiken kan situationen för en elektron runt kärnan i en väteatom ses som ganska lik de potentiella brunnsproblemen. Situationen är dock tredimensionell och beskrivs bäst i sfäriska koordinater r
, θ
, ϕ
. Lösningen i detta fall ges av:
Ψ (x) \u003d NR_ {n, l} (r) P ^ m_ {l} (\\ cos θ) e ^ {imϕ}

Där P
är Legendre-polynomema, R
är specifika radiella lösningar, och N
är en konstant du fixar med hjälp av att vågfunktionen ska normaliseras. Ekvationen ger energinivåer som ges av:
E \u003d - \\ frac {\\ mu Z ^ 2e ^ 4} {8ϵ_0h ^ 2n ^ 2}

Där Z
här är atomnumret (så Z
\u003d 1 för en väteatom), e
är i detta fall laddningen för en elektron (snarare än konstanten e
\u003d 2.7182818 ...), ϵ
_{0 är permittiviteten för fritt utrymme, och μ
är den reducerade massan, som är baserad på massorna av proton och elektron i en väteatom. Detta uttryck är bra för alla väteliknande atomer, vilket betyder varje situation (inklusive joner) där det finns en elektron som kretsar kring en central kärna.}