Oavsett om det är en skridskoåkare som drar i armarna och snurrar snabbare som hon gör eller en katt som styr hur snabbt den snurrar under ett fall för att säkerställa att den landar på sin fötter, är begreppet ett tröghetsmoment avgörande för rotationsrörelsens fysik.

Annars känd som roterande tröghet, är tröghetsmomentet den roterande analogen av massan i den andra av Newtons rörelselag, som beskriver ett objekts tendens att motstå vinkelacceleration.

Konceptet kanske inte verkar alltför intressant till en början, men i kombination med lagen om bevarande av vinkelmoment kan det användas för att beskriva många fascinerande fysiska fenomen och förutspå rörelse i ett brett spektrum av situationer.
Definition av ögonblick av tröghet

Tröghetsmomentet för ett objekt beskriver dess motstånd mot vinkelacceleration, och står för fördelningen av massan runt rotationsaxeln på.

Det kvantifierar i huvudsak hur svårt det är att ändra hastigheten på ett objekts rotation, vare sig det innebär att starta dess rotation, stoppa det eller ändra hastigheten på ett redan roterande objekt.

Det ibland kallad roterande tröghet, och det är användbart att tänka på det som en massanalog i Newtons andra lag: F _{net
\u003d ma
. Här kallas ofta ett objekts massa tröghetsmassan och beskriver objektets motstånd mot (linjär) rörelse. Rotationsinertia fungerar precis så här för rotationsrörelse, och den matematiska definitionen inkluderar alltid massa.}

Det motsvarande uttrycket till den andra lagen för rotationsrörelse hänför sig till vridmoment
( τ
, rotationsanalogen av kraft) till vinkelacceleration α
och tröghetsmoment I
: τ
\u003d Iα
.

Samma objekt kan ha flera tröghetsmoment, men eftersom en stor del av definitionen handlar om massfördelningen, står det också för placeringen av rotationsaxeln.

Till exempel medan tröghetsmomentet för en stång som roterar runt dess centrum är I
\u003d ML
^{2/12 (där M
är massa och L
är längden på stången), samma stång som roterar runt ena änden har ett tröghetsmoment som ges av I
\u003d ML
2/3.
Ekvationer för Momentet av tröghet}

Så en kropps tröghetsmoment beror på dess massa M
, dess radie R
och dess rota axel tion.

I vissa fall benämns R
d
, för avstånd från rotationsaxeln och i andra (som med stången i föregående avsnitt) den ersätts av längd, L
. Symbolen I
används för tröghetsmoment och har enheter på kg m ^2.

Som du kan förvänta dig baserat på vad du hittills har lärt dig finns det många olika ekvationer för tröghetsmoment, och var och en hänvisar till en specifik form och en specifik rotationsaxel. I alla tröghetsmoment visas termen MR
^{2, även om det för olika former finns olika fraktioner framför denna term, och i vissa fall kan det finnas flera termer sammanfattade.}

Komponenten MR
^{2 är tröghetsmomentet för en punktmassa på avstånd R
från rotationsaxeln, och ekvationen för en specifik styv kropp är byggd upp som en summa av punktmassor, eller genom att integrera ett oändligt antal små punktmassor över objektet.}

Även om det i vissa fall kan vara användbart att härleda tröghetsmomentet för ett objekt baserat på ett enkelt aritmetisk summa av punktmassor eller genom att integrera, i praktiken finns det många resultat för vanliga former och rotationsaxlar som du helt enkelt kan använda utan att behöva härleda först:

Solid cylinder (symmetriaxel):
I \u003d \\ frac {1} {2} MR ^ 2

Fast cylinder (axel med central diameter eller diametern på det cirkulära tvärsnittet i mitten av cylindern):
I \u003d \\ frac {1} {4} MR ^ 2 + \\ frac {1} {12} ML ^ 2

Fast sfär (central axel):
I \u003d \\ frac {2} {5} MR ^ 2

Tunn sfärisk skal (central axel) ):
I \u003d \\ frac {2} {3} MR ^ 2

Hoop (symmetriaxel, dvs vinkelrätt genom mitten):
I \u003d MR ^ 2

Hoop (diameter axel, dvs över diametern på cirkeln som bildas av bågen):
I \u003d \\ frac {1} {2} MR ^ 2

Stång (mittaxel, vinkelrätt mot stavens längd):
I \u003d \\ frac {1} {12} ML ^ 2

Stång (roterar om änden):
I \u003d \\ frac {1} {3} ML ^ 2 Rotation Inertia and Axis of Rotation -

Förstå varför det finns olika ekvationer för varje rotationsaxel är ett viktigt steg för att ta tag i begreppet ett tröghetsmoment.

Tänk på en penna: Du kan rotera den genom att snurra den i mitten, i slutet eller genom att vrida den runt sin centrala axel. Eftersom ett objekts rotationsintrång beror på massfördelningen kring rotationsaxeln är var och en av dessa situationer olika och kräver en separat ekvation för att beskriva det.

Du kan få en instinktiv förståelse av begreppet tröghetsmoment om du skalar samma argument upp till en 30-fot flaggstång.

Att snurra det i slutet över änden skulle vara mycket svårt - om du alls kan hantera det - medan du vrider polen runt dess centrala axel skulle vara mycket lättare. Detta beror på att vridmomentet beror starkt på avståndet från rotationsaxeln, och i exemplet med 30 fot flaggstol innebär att snurrning av änden över änden varje extrema ände 15 meter från rotationsaxeln.

, om du vrider den runt centralaxeln är allt ganska nära axeln. Situationen är ungefär som att bära ett tungt föremål i armlängden jämfört med att hålla det nära din kropp, eller använda en spak från slutet kontra nära stödpunkterna.

Därför behöver du en annan ekvation för beskriv tröghetsmomentet för samma objekt beroende på rotationsaxeln. Axeln du väljer påverkar hur långt delar av kroppen är från rotationsaxeln, även om kroppens massa förblir densamma.
Använda ekvationerna för tröghetsmoment

Nyckeln till att beräkna tröghetsmoment för en styv kropp är att lära sig att använda och tillämpa lämpliga ekvationer.

Betrakta pennan från föregående avsnitt, och snurras över en ände runt en central punkt längs dess längd. Även om det inte är en perfekt-stång (den spetsiga spetsen bryter till exempel denna form) kan den modelleras som sådan för att spara dig att behöva genomgå ett fullständigt ögonblick av tröghetsderivat för objektet.

Så om du modellerar objektet som en stav, skulle du använda följande ekvation för att hitta tröghetsmomentet, i kombination med den totala massan och längden på pennan:
I \u003d \\ frac {1} {12} ML ^ 2

En större utmaning är att hitta tröghetsmomentet för sammansatta föremål.

Tänk till exempel på två bollar som är förbundna med en stång (som vi kommer att behandla som masslösa för att förenkla problemet). Kula en är 2 kg och placerad 2 m från rotationsaxeln, och kula två är 5 kg i massa och 3 m från rotationsaxeln.

I detta fall kan du hitta tröghetsmomentet för detta sammansatta objekt genom att betrakta varje boll som en punktmassa och arbeta utifrån den grundläggande definitionen att:
\\ begin {inriktad} I &\u003d m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 + m_3r_3 ^ 2…. \\\\ &\u003d \\ summa _ {\\ mathclap {i}} m_ir_i ^ 2 \\ end {inriktad}

Med subskripten som helt enkelt skiljer mellan olika objekt (dvs. boll 1 och boll 2). Tvåbollsobjektet skulle då ha:
\\ börja {inriktat} I &\u003d m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 \\\\ &\u003d 2 \\; \\ text {kg} × (2 \\; \\ text {m}) ^ 2 + 5 \\; \\ text {kg} × (3 \\; \\ text {m}) ^ 2 \\\\ &\u003d 8 \\; \\ text {kg m} ^ 2 + 45 \\; \\ text {kg m} ^ 2 \\\\ &\u003d 53 \\; \\ text {kg m} ^ 2 \\ end {inriktad} Moment of Inertia and Conservation of Angular Momentum

Angular momentum (rotationsanalogen för linjärt momentum) definieras som produkten av den roterande trögheten (dvs. tröghetsmomentet, I
) för objektet och dess vinkelhastighet ω
), som mäts i grader /s eller rad /s.

Du kommer utan tvekan att vara bekant med lagen om bevarande av linjärt momentum, och vinkelmoment bevaras också på samma sätt. Ekvationen för vinkelmoment L
) är:
L \u003d Iω

Att tänka på vad detta betyder i praktiken förklarar många fysiska fenomen, eftersom (i frånvaro av andra krafter), desto högre är ett objekt roterande tröghet, desto lägre är dess vinkelhastighet.

Tänk på en skridskoåkare som snurrar med en konstant vinkelhastighet med utsträckta armar, och notera att hans armar som är utsträckta ökar radien R
om vilken hans massa distribueras, vilket leder till ett större tröghetsmoment än om hans armar var nära hans kropp.

Om L
_{1 beräknas med utsträckta armar och L
2, efter att ha dragit sina armar i måste ha samma värde (eftersom vinkelmoment bevaras), vad händer om han minskar sitt tröghetsmoment genom att dra i armarna? Hans vinkelhastighet ω
ökar för att kompensera.}

Katter utför liknande rörelser för att hjälpa dem att landa på fötterna när de faller.

Genom att sträcka ut benen och svansen ökar de sina tröghetsmoment och minska rotationens hastighet, och omvänt kan de dra i benen för att minska tröghetsmomentet och öka rotationshastigheten. De använder dessa två strategier - tillsammans med andra aspekter av deras ”rättningsreflex” - för att säkerställa att deras fötter landar först, och du kan se distinkta faser av att krulla upp och sträcka ut i tidsinställda fotografier av en kattlandning.
Moment av tröghet och roterande kinetisk energi

Fortsätter parallellerna mellan linjär rörelse och rotationsrörelse, har objekt också roterande kinetisk energi på samma sätt som de har linjär kinetisk energi.

Tänk på en boll som rullar över marken, båda roterar kring sin centrala axel och rör sig framåt på linjärt sätt: Den totala kinetiska energin hos bollen är summan av dess linjära kinetiska energi E
_{k och dess roterande kinetiska energi E
rot. Parallellerna mellan dessa två energier återspeglas i ekvationerna för båda, och kom ihåg att ett objekts tröghetsmoment är massans rotationsanalog och dess vinkelhastighet är den roterande analogen med linjär hastighet v
):
E_k \u003d \\ frac {1} {2} mv ^ 2 E_ {rot} \u003d \\ frac {1} {2} Iω ^ 2}

Du kan tydligt se att båda ekvationerna har exakt samma form, med lämpliga rotationsanaloger ersatte den roterande kinetiska energiekvationen.

Naturligtvis, för att beräkna den roterande kinetiska energin, måste du ersätta det lämpliga uttrycket för tröghetsmomentet för objektet i utrymmet för I
. Med tanke på bollen och modellera föremålet som en solid sfär är ekvationen det här fallet:
\\ begin {inriktad} E_ {rot} &\u003d \\ bigg (\\ frac {2} {5} MR ^ 2 \\ bigg ) \\ frac {1} {2} ω ^ 2 \\\\ &\u003d \\ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \\ end {inriktad}

Den totala kinetiska energin ( E
_{tot) är summan av detta och bollens kinetiska energi, så du kan skriva:
\\ börja {inriktad} E_ {tot} &\u003d E_k + E_ {rot} \\\\ &\u003d \\ frac {1} {2} Mv ^ 2 + \\ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \\ end {inriktad}}

För en 1 kg boll som rör sig med en linjär hastighet på 2 m /s, med en radie av 0,3 m och med en vinkelhastighet på 2π rad /s skulle den totala energin vara:
\\ börja {inriktad} E_ {tot} &\u003d \\ frac {1} {2} 1 \\; \\ text {kg} × (2 \\; \\ text {m /s}) ^ 2 + \\ frac {1} {5} (1 \\; \\ text {kg} × (0,3 \\; \\ text {m}) ^ 2 × (2π \\; \\ text {rad /s}) ^ 2) \\\\ &\u003d 2 \\; \\ text {J} + 0,71 \\; \\ text {J} \\\\ &\u003d 2,71 \\; \\ text {J} \\ slutning {in}}

Beroende på situationen kan ett objekt endast ha linjär kinetisk energi (till exempel en boll som tappas från en höjd utan att någon vridning överförs till den) eller endast roterande kinetisk energi energi (en boll som snurrar men förblir på plats).

Kom ihåg att det är total och energi som sparas. Om en boll sparkas på en vägg utan initial rotation, och den studsar tillbaka med lägre hastighet men med en vridning överförd, liksom energin som förlorats till ljud och värme när den kom i kontakt, har en del av den ursprungliga kinetiska energin varit överfördes till roterande kinetisk energi, och så kan inte möjligen röra sig så snabbt som det gjorde innan man hoppade tillbaka.