Förstå koncepten
* enkel harmonisk rörelse (SHM): En typ av periodisk rörelse där återställningskraften är proportionell mot förskjutningen från jämvikt. Exempel inkluderar en massa på en fjäder eller en pendel som svänger genom små vinklar.
* kinetic energi (KE): Rörelsens energi, som ges av KE =(1/2) MV², där M är massa och V är hastighet.
* Potential Energy (PE): Energin lagrad på grund av ett objekts position eller konfiguration. För en vår är PE =(1/2) kx², där k är fjäderkonstanten och x är förskjutningen från jämvikt.
härledning
1. Ekvatenergier: När kinetiska och potentiella energier är lika har vi:
(1/2) MV² =(1/2) kx²
2. relaterande hastighet till förskjutning: I SHM är hastigheten (v) vid en förskjutning (x) relaterad till vinkelfrekvensen (ω) och amplitud (a) med:
v =ω√ (a² - x²)
3. Att ersätta hastighet: Ersätt detta uttryck för V i energiekvationen:
(1/2) m (ω√ (a² - x²)) ² =(1/2) kx²
4. Förenklande:
(1/2) MΩ² (A² - X²) =(1/2) KX²
MΩ²A² - MΩ²x² =Kx²
5. Lösning för x: Ordna om ekvationen för att lösa för x:
x² (K + MΩ²) =MΩ²A²
x² =(MΩ²A²) / (K + MΩ²)
x =√ ((MΩ²A²) / (K + MΩ²))))
6. med ω² =k/m: Kom ihåg att för ett vårmassesystem i SHM, ω² =k/m. Ersätta detta:
x =√ ((MΩ²A²) / (k + k))
x =√ ((MΩ²A²) / (2K))
7. Slutresultat: Eftersom ω² =k/m kan vi ytterligare förenkla:
x =√ ((m (k / m) a²) / (2k))
x =A/√2
Slutsats
När de kinetiska och potentiella energierna hos ett objekt i SHM är lika, är förskjutningen (x) lika med amplituden (a) dividerat med kvadratroten på 2. Med andra ord är objektet vid ungefär 70,7% av dess maximala förskjutning från jämvikt .
