Ett pussel erbjuder en enkel bild av en tessellation vi vanligtvis kan stöta på. Hemera/Thinkstock Vi studerar matematik för sin skönhet, dess elegans och dess förmåga att kodifiera de mönster som vävs in i universums tyg. Inom dess figurer och formler, den sekulära uppfattar ordningen och de religiösa fångar avlägsna ekon av skapelsens språk. Matematik uppnår det sublima; ibland, som med tessellationer, det stiger till konst.
Tessellationer - gaplösa mosaiker med definierade former- tillhör en ras av förhållanden, konstanter och mönster som återkommer i hela arkitekturen, avslöjar sig under mikroskop och strålar från varje honungskaka och solros. Plocka ur valfritt antal ekvationer i geometri, fysik, sannolikhet och statistik, även geomorfologi och kaosteori, och du hittar pi (π) som ligger som en hörnsten. Eulers nummer (e) lyfter huvudet upprepade gånger i kalkyl, beräkningar av radioaktivt sönderfall, sammansatta ränteformler och vissa udda fall av sannolikhet. Det gyllene snittet (φ) låg till grund för konsten, design, arkitektur och musik långt innan människor upptäckte det definierade också naturliga arrangemang av löv och stjälkar, ben, artärer och solrosor, eller matchade hjärnvågornas klockcykel [källor:Padovan, Weiss, Roopun]. Det har till och med ett förhållande till en annan flerårig mönsterfavorit, Fibonacci -sekvensen, som producerar sin egen unika kakelprogression.
Vetenskap, natur och konst bubblar också över av tessellationer. Som π, e och φ, exempel på dessa upprepande mönster omger oss varje dag, från vardagliga trottoarer, tapeter, pussel och klinkergolv till den storslagna konsten av den nederländska grafikern M.C. Escher, eller det hisnande kakelarbetet från den moriska befästningen från 1300 -talet, Alhambra, i Granada, Spanien. Faktiskt, ordet "tessellation" härrör från tessella , den latinska ordets förminskande form tessera , en individ, vanligtvis fyrkantig, kakel i en mosaik. Tessera i sin tur kan uppstå från det grekiska ordet tessares , betyder fyra.
Matematik, vetenskap och natur är beroende av användbara mönster som dessa, oavsett deras betydelse. Utöver den transcendenta skönheten i en mosaik eller gravyr, tessellationer hittar applikationer i hela matematiken, astronomi, biologi, botanik, ekologi, Datorgrafik, materialvetenskap och en mängd olika simuleringar, inklusive vägsystem.
I den här artikeln, vi visar dig vad dessa matematiska mosaiker är, vilken typ av symmetri de kan ha och vilka speciella tessellationer matematiker och forskare har i sin verktygslåda med problemlösningstrick.
Först, låt oss titta på hur man bygger en tessellation.
Tessellationer löper spektrumet från grundläggande till boggling. De enklaste består av en enda form som täcker ett tvådimensionellt plan utan att lämna några luckor. Därifrån, himlen är gränsen, från komplexa mönster med flera oregelbundna former till tredimensionella fasta ämnen som passar ihop för att fylla utrymme eller ännu högre dimensioner.
Tre vanliga geometriska former tessellaterar med sig själva:liksidiga trianglar, rutor och sexhörningar. Andra fyrsidiga former gör det också, inklusive rektanglar och romboider (diamanter). I förlängningen, icke-fyrkantiga trianglar kakel sömlöst om de placeras rygg mot rygg, skapa parallellogram. Konstigt nog, hexagoner av någon form tessellat om deras motsatta sidor är lika. Därför, vilken fyrsidig form som helst kan bilda en gaplös mosaik om den placeras rygg mot rygg, gör en sexkant.
Du kan också tessellera ett plan genom att kombinera vanliga polygoner, eller genom att blanda regelbundna och halvregulära polygoner i särskilda arrangemang. Polygoner är tvådimensionella former som består av linjesegment, som trianglar och rektanglar. Regelbundna polygoner är speciella fall av polygoner där alla sidor och alla vinklar är lika. Liksidiga trianglar och rutor är bra exempel på regelbundna polygoner.
Alla tessellationer, även snygga och komplexa sådana som M.C. Escher, börja med en form som upprepas utan mellanrum. Tricket är att ändra formen - säg, en romboid - så att den fortfarande sitter tätt ihop. Ett enkelt tillvägagångssätt innebär att man skär ut en form från ena sidan och klistrar in den på en annan. Detta ger en form som passar ihop med sig själv och staplar enkelt. Ju fler sidor du ändrar, ju mer intressant mönstret blir.
Om du känner dig mer äventyrlig, försök att klottra en vågig linje på ena sidan, och sedan kopiera samma rad till motsatt sida. Detta tillvägagångssätt kan kräva några justeringar för att få bitarna att låsa ihop ordentligt. Till exempel, om din polygon har ett udda antal sidor, du kanske vill dela den kvarvarande sidan i hälften och sedan rita spegelbildsformer på vardera sidan av delningen. Detta skapar en sida som låser sig själv.
Prova lyckan med två eller flera former som tessellaterar. Du kan göra detta geometriskt, eller fyll helt enkelt sidan med vilken form du vill, och föreställ dig sedan en bild som passar det negativa rummet. En relaterad metod innebär att man fyller en känd tesselleringsform med mindre former. Det finns till och med fraktala tessellationer -mönster av former som passar ihop och är självliknande i flera skalor.
Oroa dig inte om dina första resultat verkar lite meningslösa. Det tog Escher år att bemästra dessa galna mosaiker, och till och med han hade par som inte alltid var vettiga.
Nu när vi har lagt grunden, låt oss ta en titt på några av de speciella tessellationer som forskare använder för att lösa knepiga teoretiska och tillämpade problem.
M.C. EscherIngen tessellangtalang överstrålar den holländska grafikern M.C. Escher. En litograf, trähuggare och graverare, Escher blev intresserad av de sublima formerna efter att ha besökt Alhambra som ung [källa:University of St. Andrews].
Även om det inte var den första som flyttade tessellationer från geometriska former till organiska och fantastiska, Escher etablerade sig som sin främsta utövare. Hans fantasifulla, bländande och ofta omöjliga konstverk är fortfarande mycket populära idag.
Läs mer
Denna Voronoi -tessellation tittar på fotontätheten i en viss region. Varje prick i cellen representerar en foton. Bild med tillstånd av NASA När forskare utforskade tessellationer och definierade dem matematiskt, de identifierade vissa typer som utmärker sig för att lösa svåra problem. Ett populärt exempel är Voronoi tessellation ( VT ) även känd som Dirichlet -tessellationen eller Thiessen -polygonerna.
En VT är en tessellation baserad på en uppsättning punkter, som stjärnor på ett diagram. Varje punkt omsluts av en polygonal cell - en sluten form som bildas av linjesegment - som omfattar hela området som är närmare dess definierande punkt än någon annan punkt. Cellgränser (eller polygonsegment) är lika långt från två punkter; knutpunkter, där tre eller flera celler möts, är lika långt från tre eller flera definierande punkter. VT kan också tessellera högre dimensioner.
Det resulterande VT-mönstret liknar den slags honungskaka som ett bi kan bygga efter en nektarbender hela natten. Fortfarande, vad dessa cockeyed -celler saknar i skönhet, de kompenserar mer än i värde.
Liksom andra tessellationer, VTs dyker upp flera gånger i naturen. Det är lätt att förstå varför:Alla fenomen som involverar punktkällor som växer tillsammans i konstant takt, som lavsporer på en sten, kommer att producera en VT-liknande struktur. Samlingar av anslutna bubblor bildar tredimensionella VT, en likhet forskare utnyttjar när de modellerar skum.
VT ger också ett användbart sätt att visualisera och analysera datamönster. Tätt sammanhållna rumsliga data sticker ut på en VT eftersom områden är täta med celler. Astronomer använder denna kvalitet för att hjälpa dem att identifiera galaxkluster.
Eftersom en datorprocessor kan bygga en VT direkt från punktkälldata och en uppsättning enkla instruktioner, att använda VT:er sparar både minne och processorkraft-viktiga egenskaper för att skapa banbrytande datorgrafik eller för att simulera komplexa system. Genom att minska nödvändiga beräkningar, VT öppnar dörren till annars omöjlig forskning, såsom proteinvikning, cellulär modellering och vävnadsimulering.
En nära släkting till VT, de Delaunay tessellation har också en mängd olika användningsområden. För att göra en Delaunay tessellation, börja med en VT, och sedan rita linjer mellan de celldefinierande prickarna så att varje ny linje skär en delad linje med två Voronoi-polygoner. Det resulterande gallret av knubbiga trianglar ger en praktisk struktur för att förenkla grafik och terräng.
Matematiker och statistiker använder Delaunay -tessellationer för att svara på annars ofördelbara frågor, som att lösa en ekvation för varje punkt i rymden. Istället för att försöka denna oändliga beräkning, de beräknar en lösning för varje Delaunay -cell.
I hans 27 januari, 1921, adress till Prussian Academy of Sciences i Berlin, Einstein sa:"När det gäller matematikens lagar avser verkligheten, de är inte säkra; och så långt de är säkra, de hänvisar inte till verkligheten. "Klart, tessellerade approximationer saknar perfektion. Ändå, de möjliggör framsteg genom att reducera annars otympliga problem till en form som hanteras med nuvarande beräkningskraft. Mer än det, de påminner oss om kosmos underliggande skönhet och ordning.
Rädsla symmetriAlla tvådimensionella plan med repetitiva mönster faller i en av 17 "tapetgrupper" som beskriver deras symmetrityper (även om inte alla tessellationer är symmetriska) [källa:Joyce]. De fyra huvudkategorierna inkluderar:
Alhambra berömda mosaiker har 13 av symmeturgrupperna. Egyptisk konst använde 12 [källor:Grünbaum].
Läs mer
