(a) Elektrisk intensitet E utanför ballongen (r> R)

Med hjälp av Gauss lag kan vi bestämma den elektriska intensiteten E på ett avstånd r från ballongens mitt. Vi betraktar en sfärisk gaussisk yta med radien r, koncentrisk med ballongen. Det elektriska fältet är överallt vinkelrätt mot ytan, och dess storlek är konstant på ytan. Därför ges det elektriska flödet genom ytan av:

∮_S \(\överhögerpil E\cdot d\överhögerpil A\)=E⋅4πr^2

Den totala laddningen som omges av ytan är q. Därför, enligt Gauss lag, har vi:

∮_S \(\overrightarrow E\cdot d\overrightarrow A\)=\frac{q_{in}}{\varepsilon_0}

där ε₀ är permittiviteten för ledigt utrymme. Genom att kombinera ovanstående ekvationer får vi:

$$E⋅4πr^2=\frac{q}{\varepsilon_0}$$

$$E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}$$

Detta är uttrycket för den elektriska intensiteten utanför ballongen. Det varierar omvänt med kvadraten på avståndet från ballongens mitt.

(b) Elektrisk intensitet E inuti ballongen (r

Inuti ballongen är det elektriska fältet noll. Detta beror på att det elektriska fältet beror på laddningarna på ballongens yta, och det finns inga laddningar inuti ballongen.

(c) Elektrisk potential V utanför ballongen (r> R)

Den elektriska potentialen V på ett avstånd r från ballongens mitt ges av:

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dq}{r}$$

Eftersom laddningen är jämnt fördelad på ballongens yta kan vi skriva dq =σ⋅dA, där σ är ytladdningstätheten och dA är ​​ett element av arean på ytan. Den totala laddningen på ballongen är q =σ⋅4πR², där R är ballongens radie. Genom att ersätta dessa i ekvationen för V får vi:

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_S \frac{\sigma dA}{r}$$

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma}{r}⋅\int_S dA$$

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma}{r}⋅4πR²$$

$$V=\frac{\sigma R}{\varepsilon_0}\frac{1}{r}$$

Detta är uttrycket för den elektriska potentialen utanför ballongen. Det varierar omvänt med avståndet från ballongens mitt.

(d) Elektrisk potential V inuti ballongen (r

Inuti ballongen är den elektriska potentialen konstant och ges av:

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^R \frac{\sigma dA}{r}$$

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma}{r}⋅4πr²$$

$$V=\frac{\sigma R}{\varepsilon_0}$$

Detta är uttrycket för den elektriska potentialen inuti ballongen. Den är konstant och beror inte på avståndet från ballongens mitt.