Förstå koncepten
* cirkulär rörelse: När en partikel rör sig i en cirkulär stig förändras dess riktning ständigt, även om dess hastighet är konstant. Denna riktningsförändring innebär att det finns en acceleration.
* vinkelhastighet (ω): Detta mäter hur snabbt partikeln roterar. Det är förändringshastigheten för vinkeln (θ) med avseende på tid (t):ω =dθ/dt.
* centripetal acceleration (A c ): Denna acceleration riktas mot mitten av cirkeln och är ansvarig för att hålla partikeln rör sig i en cirkulär stig.
härleder accelerationen
1. Positionsvektor: Låt oss säga att partikeln är på en position r relativt cirkelns centrum. Denna positionsvektor är en funktion av tiden: r (t) .
2. hastighetsvektor: Hastighetsvektorn är tidsderivatet för positionsvektorn: v (t) =dr (t)/dt . Eftersom partikeln rör sig i en cirkel är dess hastighet alltid tangent till cirkeln.
3. accelerationsvektor: Accelerationsvektorn är tidsderivatet för hastighetsvektorn: a (t) =dv (t)/dt . För att hitta accelerationen måste vi differentiera hastighetsvektorn.
4. med polära koordinater: Det är bekvämt att använda polära koordinater (r, θ) för att beskriva partikelns position. I det här systemet:
* r är det radiella avståndet från mitten av cirkeln.
* θ är vinkeln som positionsvektorn gör med en referensaxel.
5. Uttryck hastighet i polära koordinater:
* v =(dr/dt) * r̂ + (r * dθ/dt) * θ̂
* R̂ är enhetsvektorn i radiell riktning.
* θ̂ är enhetsvektorn i tangentiell riktning.
6. Uttryckande acceleration i polära koordinater:
* a =[(d²r/dt²) - (r * (dθ/dt) ²)] * r̂ + [(r * d²θ/dt²) + 2 * (dr/dt) * (dθ/dt)] * θ̂
7. Förenklande för enhetlig cirkulär rörelse:
* För enhetlig cirkulär rörelse är radien (R) konstant, så dr/dt =0 och d²r/dt² =0.
* Vinkelhastigheten (ω) är också konstant, så d²θ/dt² =0.
8. Slutresultat:
* a =- (r * ω²) * r̂
Tolkning:
* Riktning: Accelerationen är i den negativa radiella riktningen (mot cirkelns centrum).
* magnitude: Accelerationens storlek är en c =r * ω². Detta är centripetalaccelerationen.
Därför ges accelerationen av en partikel som genomgår enhetlig cirkulär rörelse av - (r * ω²) * r̂, där r är cirkelns radie och ω är vinkelhastigheten.
