Har du någonsin undrat hur trigonometriska funktioner som sinus och cosinus är relaterade? De används båda för att beräkna sidor och vinklar i trianglar, men förhållandet går längre än det. Cofunction identiteter ger oss specifika formler som visar hur man konverterar mellan sinus och cosinus, tangent och cotangent, och secant och cosecant.
TL; DR (för länge, läste inte)
The sinus av en vinkel är lika med cosinus av dess komplement och vice versa. Detta gäller även andra funktioner.
Ett enkelt sätt att komma ihåg vilka funktioner som fungerar är att två trigfunktioner fungerar tillsammans om en av dem har "co-prefix" framför den. Så:
Vi kan beräkna fram och tillbaka mellan cofunctions med hjälp av denna definition: Värdet av en funktion av en vinkel motsvarar värdet av komplementets funktion.
Det låter komplicerat, men istället för att prata om värdet av en funktion i allmänhet låt oss använda ett specifikt exempel. sinus Kom ihåg: Två vinklar kompletterar om de lägger till 90 grader. Cofunction Identities in Degrees : (Observera att 90 ° - x ger oss en vinkel komplement.) sin (x) = cos (90 ° - x) cos (x) = synd (90 ° - x) tan (x) = barnsäng (90 ° - x) barnsäng (x) = tan (90 ° - x) sek (x) = csc (90 ° - x) csc (x) = sek (90 ° - x) Cofunction Identities i Radians Kom ihåg att vi också kan skriv saker i radianer, vilket är SI-enheten för mätning av vinklar. Nittiotal grader är desamma som π /2-radianer, så vi kan också skriva kodfunktionsidentiteterna så här: sin (x) = cos (π /2 - x) cos ) = sin (π /2 - x) tan (x) = barnsäng (π /2 - x) barnsäng (x) = tan (π /2 - x) sek (x) = csc (π /2 - x) csc (x) = sek (π /2 - x) Cofunction Identities Proof Det här låter bra, men hur kan vi bevisa att detta är sant? Att testa det själv på ett par exemplar trianglar kan hjälpa dig att känna dig trygg på det, men det finns också ett mer noggrant algebraiskt bevis. Låt oss bevisa funktionsidentiteterna för sinus och cosinus. Vi kommer att arbeta i radianer, men det är detsamma som att använda grader. Bevis: sin (x) = cos (π /2 - x) Först och främst nå vägen tillbaka i ditt minne till denna formel, för att vi ska använda den i vårt bevis: cos (A - B) = cos (A) cos (B) + sin (A) sin Har du det? OK. Låt oss nu bevisa: synd (x) = cos (π /2 - x). Vi kan skriva om cos (π /2 - x) så här: cos (π /2 - x) = cos (π /2) cos (x) + sin (π /2) sin (x) cos (π /2 - x) = 0 cos (x) + 1 sin , eftersom vi vet cos (π /2) = 0 och sin (π /2) = 1. cos (π /2 - x) = sin (x). Ta- da! Låt oss bevisa det med kosinus! Bevis: cos (x) = sin (π /2 - x) En annan sprängning från det förflutna: Kom ihåg denna formel? synd (A - B) = sin (A) cos (B) - cos (A) sin (B). Vi ska använda den. Låt oss nu bevisa: cos (x) = sin (π /2 - x). Vi kan skriva om synd (π /2 - x) så här: sin (π /2 - x) = sin (π /2) cos (x) - cos (π /2) sin (x) sin (π /2 - x) = 1 cos (x) - 0 sin , eftersom vi vet synd (π /2) = 1 och cos (π /2) = 0. sin (π /2 - x) = cos (x). Cofunction Calculator Pröva några exempel att arbeta med cofunctions på egen hand. Men om du fastnar har Math Celebrity en kalkylator som visar steg-för-steg-lösningar på funktionsproblem. Glad beräkning!
av en vinkel är lika med cosinus
av dess komplement. Och detsamma gäller andra funktioner: Tangentens tangent motsvarar dess komplementets cotangent.
