Du kan inte lösa en ekvation som innehåller en fraktion med en irrationell nämnare, vilket betyder att nämnaren innehåller en term med ett radikalt tecken. Detta inkluderar kvadrat, kub och högre rötter. Att bli av med det radikala tecknet kallas rationalisering av nämnaren. När nämnaren har en term, kan du göra det genom att multiplicera de övre och nedre termerna av radikalen. När nämnaren har två termer är proceduren lite mer komplicerad. Du multiplicerar topp och botten av nivåns konjugat och expanderar och helt enkelt täljaren.

TL; DR (för länge, läste inte)

För att rationalisera en fraktion har du att multiplicera täljaren och nämnaren med ett tal eller uttryck som blir av med de radikala tecknen i nämnaren.

Rationalisering av en fraktion med en term i nämnaren

En fraktion med kvadratroten av en enda term i nämnaren är det enklaste att rationalisera. I allmänhet tar fraktionen formen a /√x. Du rationaliserar det genom att multiplicera täljaren och nämnaren med √x.

√x /√x • a /√x = a√x /x

Eftersom allt du har gjort multiplicerar Fraktion med 1, dess värde har inte förändrats.

Exempel:

Rationalisera 12 /√6

Multiplicera täljaren och nämnaren med √6 för att få 12√6 /6. Du kan förenkla detta genom att dividera 6 till 12 för att få 2, så den förenklade formen av den rationaliserade fraktionen är

2√6

Rationalisera en fraktion med två villkor i nämnaren

Antag att du har en fraktion i formuläret (a + b) /(√x + √y). Du kan bli av med det radikala tecknet i nämnaren genom att multiplicera uttrycket med dess konjugat. För en allmän binomial av formen x + y är konjugatet x-y. När du multiplicerar dessa tillsammans får du x ^{2 - y 2. Tillämpa denna teknik på den generella fraktionen ovan:}

(a + b) /(√ x - √y) • (√x - √y) /(√x - √y)

(a + b) • (√x - √y) /x - y

Utvid täljaren för att få

(a√x -a√y + b√x - b√y ) /x - y

Detta uttryck blir mindre komplicerat när du ersätter heltal för vissa eller alla variabler.

Exempel:

Rationalisera nämnaren av fraktionen 3 /(1 - √y)

Nämnarens konjugat är 1 - (-√y) = 1+ √y. Multiplicera täljaren och nämnaren med detta uttryck och förenkla:

[3 (1 + √y)} /1 - y

(3 + 3√y) /1 - y

Rationalisering av kubrotter

När du har en kubrot i nämnaren måste du multiplicera täljaren och nämnaren genom kubrototen på kvadraten av siffran under det radikala tecknet för att bli av med radikalt tecken i nämnaren. I allmänhet, om du har en fraktion i formen a / ^{3√x, multiplicera topp och botten av 3√x 2.}

Exempel:

Rationalisera nämnaren: 7 / ^3√x

Multiplicera täljaren och nämnaren med ^{3√x 2 för att få}

7 • ^{3√x 2 / 3xx 3xx 2 = 7 • 3√x 2 / 3√x 3}

7 • ^{3√x 2 /x}