Kvadratrötter finns ofta i matematik- och naturvetenskapsproblem, och alla elever behöver plocka upp grunderna i kvadratroten för att hantera dessa frågor. Fyrkantiga rötter frågar "vilket antal, när det multipliceras med sig själv, ger följande resultat", och som sådan kräver det att du tänker på siffror på något annorlunda sätt. Men du kan lätt förstå reglerna för kvadratrötter och svara på alla frågor som involverar dem, oavsett om de kräver direkt beräkning eller bara förenkling.

TL; DR (för lång; läste inte)

En kvadratrot frågar dig vilket nummer som multipliceras med sig själv och ger resultatet efter √-symbolen. Så √9 \u003d 3 och √16 \u003d 4. Varje rot har tekniskt ett positivt och negativt svar, men i de flesta fall är det positiva svaret det du kommer att vara intresserad av.

Du kan faktor kvadratrötter precis som vanliga siffror, så √ ab
\u003d √ a
√ b
, eller √6 \u003d √2√3.
Vad är en fyrkantig rot?

Fyrkantiga rötter är motsatsen till att ”kvadrera” ett nummer eller multiplicera det med sig själv. Till exempel är tre kvadrat nio (3 ^{2 \u003d 9), så kvadratroten av nio är tre. I symboler är detta √9 \u003d 3. "√" -symbolen säger dig att ta kvadratroten av ett nummer, och du kan hitta detta på de flesta kalkylatorer.}

Kom ihåg att alla siffror faktiskt har två och kvadratiska rötter. Tre multiplicerad med tre är lika med nio, men negativa tre multiplicerade med negativa tre är också lika med nio, så 3 ^{2 \u003d (−3) 2 \u003d 9 och √9 \u003d ± 3, med ± står i för “plus eller minus. ”I många fall kan du ignorera siffrornas negativa kvadratrötter, men ibland är det viktigt att komma ihåg att varje nummer har två rötter.}

Du kan bli ombedd att ta" kubrot "eller" fjärde roten ”av ett nummer. Kubroten är det tal som, när multipliceras med sig själv två gånger, är lika med det ursprungliga talet. Den fjärde roten är antalet som multipliceras med sig själv tre gånger lika med det ursprungliga talet. Som kvadratiska rötter är dessa tvärtom motsatsen till att ta kraften från siffror. Så 3 <sup>3 \u003d 27, och det betyder att kubroten till 27 är 3, eller ∛27 \u003d 3. Symbolen "∛" representerar kubroten för antalet som kommer efter den. Rötter uttrycks ibland också som fraktionella krafter, så √ x
\u003d x
1/2 och ∛ x

\u003d x
1/3.
Förenkla kvadratrötter</sup>

En av de mest utmanande uppgifterna du kanske måste utföra med kvadratrötter är att förenkla stora fyrkantiga rötter, men du behöver bara följa några enkla regler för att hantera dessa frågor. Du kan faktor kvadratiska rötter på samma sätt som du faktorerar vanliga siffror. Så till exempel 6 \u003d 2 × 3, så √6 \u003d √2 × √3.

Att förenkla större rötter betyder att ta faktorisering steg för steg och komma ihåg definitionen av en kvadratrot. Till exempel är √132 en stor rot, och det kan vara svårt att se vad man ska göra. Du kan dock enkelt se att det är delbart med 2, så att du kan skriva √132 \u003d √2 √66. 66 är dock också delbart med 2, så du kan skriva: √2 √66 \u003d √2 √2 √33. I det här fallet ger en kvadratrot av ett nummer multiplicerat med en annan kvadratrot bara det ursprungliga talet (på grund av definitionen av kvadratrot), så √132 \u003d √2 √2 √33 \u003d 2 √33.

I korthet kan du förenkla kvadratiska rötter med följande regler

√ ( a
× b
) \u003d √ a
× √ b

√ a
× √ a
\u003d a

What is the Square Root Of…

Med definitionerna och reglerna ovan kan du hitta kvadratroten för de flesta siffror. Här är några exempel att tänka på.
Kvadratroten på 8

Detta kan inte hittas direkt eftersom det inte är kvadratroten av ett helt tal. Att använda reglerna för förenkling ger emellertid:

√8 \u003d √2 √4 \u003d 2√2
Kvadratroten av 4

Detta använder den enkla kvadratroten av 4 , som är √4 \u003d 2. Problemet kan lösas exakt med hjälp av en kalkylator, och √8 \u003d 2.8284 ....
Kvadratroten av 12

Använd samma strategi och försök kvadratroten av 12. Dela upp roten i faktorer och se sedan om du kan dela upp den i faktorer igen. Försök detta som ett praktikproblem och titta sedan på lösningen nedan:

√12 \u003d √2√6 \u003d √2√2√3 \u003d 2√3

Återigen, detta förenklade uttryck kan antingen användas i problem efter behov, eller beräknas exakt med en räknare. En kalkylator visar att √12 \u003d 2√3 \u003d 3.4641….
Kvadratroten av 20

Kvadratroten av 20 kan hittas på samma sätt:

√20 \u003d √2√10 \u003d √2√2√5 \u003d 2√5 \u003d 4.4721….
Kvadratroten av 32

Slutligen tackla kvadratroten av 32 med samma tillvägagångssätt:

√32 \u003d √4√8

Här noterar vi att vi redan har beräknat kvadratroten av 8 som 2√2, och att √4 \u003d 2, så:

√32 \u003d 2 × 2√2 \u003d 4√2 \u003d 5.657 ....
Kvadratrot av ett negativt nummer

Även om definitionen av en kvadratrot betyder att negativa siffror inte bör ha en kvadratrot (eftersom valfritt antal multiplicerat med sig själv ger ett positivt tal som ett resultat), matematiker stötte på dem som en del av problem i algebra och utformade en lösning. Det "imaginära" antalet i
används för att betyda "kvadratroten på minus 1" och alla andra negativa rötter uttrycks som multiplar av i
. Så √ − 9 \u003d √9 × i
\u003d ± 3_i_. Dessa problem är mer utmanande, men du kan lära dig att lösa dem baserat på definitionen av i
och standardreglerna för rötter.
Exempel Frågor och svar

Testa din förståelse av kvadrat rötter genom att förenkla efter behov och sedan beräkna följande rötter:

√50

√36

√70

√24

√27

Försök att lösa dessa innan du tittar på svaren nedan:

√50 \u003d √2 √25 \u003d 5√2 \u003d 7.071

√36 \u003d 6

√70 \u003d √7 √10 \u003d √7 √2 √5 \u003d 8.637

√24 \u003d √2 √12 \u003d √2 √2 √6 \u003d 2√6 \u003d 4.899

√27 \u003d √3 √9 \u003d 3√3 \u003d 5.196