• Home
  • Kemi
  • Astronomien
  • Energi
  • Naturen
  • Biologi
  • Fysik
  • Elektronik
  •  science >> Vetenskap >  >> Fysik
    Maxwell-Boltzmann Distribution: Funktion, Derivation & Exempel

    Att beskriva vad som händer med mycket små partiklar är en utmaning i fysiken. Inte bara är deras storlek svår att arbeta med, utan i de flesta dagliga applikationer har du inte att göra med en enda partikel, utan otaliga många av dem alla interagerar med varandra.

    Inom ett fast ämne, partiklar gör inte flytta förbi varandra, men istället är ganska mycket fast på plats. Fastämnen kan emellertid expandera och sammandras med temperaturvariationer och ibland till och med genomgå intressanta förändringar i kristallstrukturer i vissa situationer.

    I vätskor är partiklar fria att röra sig förbi varandra. Forskare tenderar dock inte att studera vätskor genom att försöka hålla reda på vad varje enskild molekyl gör. Istället tittar de på större egenskaper hos helheten, såsom viskositet, densitet och tryck.

    Precis som med vätskor är partiklarna i en gas också fria att röra sig förbi varandra. Faktum är att gaser kan genomgå dramatiska volymförändringar på grund av skillnader i temperatur och tryck.

    Återigen är det inte meningsfullt att studera en gas genom att hålla reda på vad varje enskild gasmolekyl gör, även på termisk jämvikt. Det vore inte möjligt, särskilt när du tänker på att även i utrymmet för ett tomt dricksglas finns det cirka 10 22 luftmolekyler. Det finns inte ens en dator som är tillräckligt kraftfull för att köra en simulering av så många interagerande molekyler. Istället använder forskare makroskopiska egenskaper som tryck, volym och temperatur för att studera gaser och göra noggranna förutsägelser.
    Vad är en idealisk gas?

    Den typ av gas som är lättast att analysera är en idealisk gas. Det är perfekt eftersom det möjliggör vissa förenklingar som gör fysiken mycket lättare att förstå. Många gaser vid standardtemperaturer och tryck fungerar ungefär som ideala gaser, vilket gör studien av dem också användbar.

    I en idealisk gas antas själva gasmolekylerna kollidera i perfekt elastiska kollisioner så att du inte behöver inte oroa sig för energiförändring i form av sådana kollisioner. Det antas också att molekylerna ligger mycket långt ifrån varandra, vilket i huvudsak betyder att du inte behöver oroa dig för att de kämpar varandra för rymden och kan behandla dem som punktpartiklar. Idealiska gaser är inte heller för varma och inte för kalla, så du behöver inte oroa dig för effekter som jonisering eller kvanteffekter.

    Härifrån kan gaspartiklarna behandlas som små punktpartiklar som hoppar runt inom deras behållare. Men även med denna förenkling är det fortfarande inte möjligt att förstå gaser genom att spåra vad varje enskild partikel gör. Det tillåter dock forskare att utveckla matematiska modeller som beskriver förhållandena mellan makroskopiska kvantiteter.
    The Ideal Gas Law

    Den ideala gaslagen relaterar trycket, volymen och temperaturen för en ideal gas. Trycket P
    av en gas är kraften per enhetsyta som den utövar på väggarna i behållaren den befinner sig i. SI-tryckenheten är pascalen (Pa) där 1Pa \u003d 1N /m 2. Volymen V
    av gasen är den mängd utrymme som den tar upp i SI-enheter på m 3. Och temperaturen T
    för gasen är ett mått på den genomsnittliga kinetiska energin per molekyl, mätt i SI-enheter i Kelvin.

    Ekvationen som beskriver den ideala gaslagen kan skrivas på följande sätt:
    PV \u003d NkT

    Där N
    är antalet molekyler eller antal partiklar och Boltzmann-konstanten k
    \u003d 1.38064852 × 10 -23 kgm 2 /s 2K.

    En ekvivalent formulering av denna lag är:

    Där n
    är antalet mol, och den universella gaskonstanten R
    \u003d 8.3145 J /molK.

    Dessa två uttryck är ekvivalenta. Vilken du väljer att använda beror helt enkelt på om du mäter ditt molekylantal i mol eller i antal molekyler.


    Tips

  • 1 mol \u003d 6.022 × 10 23 molekyler, som är Avogadros antal.


    Kinetic Theory of Gases |

    När en gas har ungefärligt uppnåtts som ideal, kan du göra en ytterligare förenkling. Det vill säga, istället för att överväga den exakta fysiken för varje molekyl - vilket skulle vara omöjligt på grund av deras stora antal - behandlas de som om deras rörelser är slumpmässiga. På grund av detta kan statistik tillämpas för att förstå vad som händer.

    Under 1800-talet utvecklade fysikerna James Clerk Maxwell och Ludwig Boltzmann den kinetiska teorin om gaser baserat på de förenklade beskrivningarna.

    Klassiskt kan varje molekyl i en gas ha en kinetisk energi som tillskrivs formen:
    E_ {kin} \u003d \\ frac {1} {2} mv ^ 2

    Men inte varje molekyl i gasen, har samma kinetiska energi eftersom de ständigt kolliderar. Den exakta fördelningen av molekylernas kinetiska energier ges av Maxwell-Boltzmann-distributionen.
    Maxwell-Boltzmann Statistik

    Maxwell-Boltzmann-statistik beskriver fördelningen av ideala gasmolekyler över olika energitillstånd. Funktionen som beskriver denna distribution är som följer:
    f (E) \u003d \\ frac {1} {Ae ^ {\\ frac {E} {kT}}}

    Där A
    är en normaliseringskonstant, E
    är energi, k
    är Boltzmanns konstant och T
    är temperatur.

    Ytterligare antaganden för att få denna funktion är att, på grund av deras punkt-partikel karaktär finns det ingen gräns för hur många partiklar som kan uppta ett givet tillstånd. Dessutom tar fördelningen av partiklar mellan energitillstånd nödvändigtvis den mest sannolika fördelningen (med större antal partiklar blir oddsen för att gasen inte är nära denna distribution alltmer liten). Och slutligen är alla energitillstånd lika troliga.

    Denna statistik fungerar eftersom det är extremt osannolikt att en viss partikel kan hamna med en energi som är betydligt över genomsnittet. Om det gjorde det skulle det göra mycket färre sätt för resten av den totala energin att distribueras. Det kommer till ett siffrespel - eftersom det finns mycket fler energitillstånd som inte har en partikel långt över genomsnittet, är sannolikheten för att systemet befinner sig i ett sådant tillstånd försvinnande liten.

    Energierna är dock lägre än genomsnittet är mer troligt, igen på grund av hur sannolikheterna spelar ut. Eftersom all rörelse betraktas som slumpmässig och det finns ett större antal sätt en partikel kan hamna i ett lågenergitillstånd föredras dessa tillstånd.
    Maxwell-Boltzmann-distributionen <<> Maxwell-Boltzmann-distributionen är fördelningen av hastigheterna för ideala gaspartiklar. Denna hastighetsfördelningsfunktion kan härledas från Maxwell-Boltzmann-statistiken och användas för att härleda förhållanden mellan tryck, volym och temperatur.

    Fördelningen av hastighet v
    ges med följande formel:
    f (v) \u003d 4 \\ pi \\ Big [\\ frac {m} {2 \\ pi kT} \\ Big] ^ {3/2} v ^ 2e ^ {[\\ frac {-m ^ 2} {2kT }]}

    Där m
    är massan för en molekyl.

    Den tillhörande fördelningskurvan, med hastighetsfördelningsfunktionen på y
    -axen och molekylhastighet på x
    -axen, ser ut som följande:

    [bild]

    Den har ett toppvärde med den mest troliga hastigheten v p
    , och en genomsnittlig hastighet som ges av:
    v_ {avg} \u003d \\ sqrt {\\ frac {8kT} {\\ pi m}}

    Observera också hur den har en lång smal svans. Kurvan ändras något vid olika temperaturer, med den långa svansen som blir "fetare" vid högre temperaturer.
    Exempel på applikationer

    Använd relationen:
    E_ {int} \u003d N \\ gånger KE_ {avg } \u003d \\ frac {3} {2} NkT

    Där E int
    är den inre energin, KE
    genomsnittet är den genomsnittlig kinetisk energi per molekyl från Maxwell-Boltzmann-distributionen. Tillsammans med den ideala gaslagen är det möjligt att få en relation mellan tryck och volym när det gäller molekylrörelse:
    PV \u003d \\ frac {2} {3} N \\ gånger KE_ {avg}

  • © Vetenskap http://sv.scienceaq.com