När du börjar göra trigonometri och kalkyl kan du stöta på uttryck som synd (2θ), där du blir ombedd att hitta värdet på θ. Att spela test och fel med diagram eller en räknare för att hitta svaret skulle sträcka sig från en utdragen mardröm till helt omöjligt. Lyckligtvis är dubbelvinkelidentiteterna här för att hjälpa. Det här är speciella fall av vad som kallas en sammansatt formel, som bryter funktionerna i formerna (A + B) eller (A - B) till funktioner för bara A och B.
The Double-Angle Identities for Sine
Det finns tre dubbelvinkliga identiteter, var och en för sinus-, kosinus- och tangensfunktionerna. Men sinus- och kosinusidentiteterna kan skrivas på flera sätt. Här är de två sätten att skriva dubbelvinkelidentiteten för sinusfunktionen:
Det finns ännu fler sätt att skriva dubbelvinkelidentiteten för kosinus:
Här finns det bara ett sätt att skriva dubbelvinkelidentiteten för tangentfunktionen:
Föreställ dig att du står inför en rätt triangel där du vet längden på dess sidor, men inte måtten på dess vinklar. Du har blivit ombedd att hitta θ, där θ är en av triangelns vinklar. Om triangelns hypotenus mäter 10 enheter, sidan intill din vinkel mäter 6 enheter och sidan mittemot vinkeln mäter 8 enheter, spelar det ingen roll att du inte känner till måttet på θ; kan du använda dina kunskaper om sinus och kosinus, plus en av dubbla vinkelformlerna, för att hitta svaret.
När du har valt en vinkel, kan du definiera sinus som förhållandet mellan motsatt sida över hypotenusen och kosinus som förhållandet mellan intilliggande sida över hypotenusen. Så i exemplet som just givits har du:
sin
\u003d 8/10
cos
\u003d 6/10
Du hittar dessa två uttryck eftersom de är de viktigaste byggstenar för dubbla vinkelformler.
Eftersom det finns så många dubbelvinkelformler att välja mellan, kan du välja den som ser ut lättare att beräkna och kommer att returnera den typ av information du behöver. I det här fallet, eftersom du redan känner till sinθ och cosθ, ser synd (2θ) \u003d 2sinθcosθ ut praktiskt.
Du vet redan värdena för sinθ och cosθ så ersätt dem i ekvationen:
sin (2θ) \u003d 2 (8/10) (6/10)
När du förenklat har du:
sin (2θ) \u003d 96/100
De flesta trigonometriska diagram ges i decimaler, så nästa arbete delar upp delningen representerad av bråk för att konvertera den till decimalform . Nu har du:
sin (2θ) \u003d 0,96
Slutligen hitta den omvända sinus eller bågskalet på 0,96, som är skriven som Eller, med andra ord, använd din kalkylator eller ett diagram för att ungefärliga vinkeln som har en sinus på 0,96. Som det visar sig är det nästan exakt lika med 73,7 grader. Så 2θ \u003d 73,7 grader.
Dela varje sida av ekvationen med 2. Detta ger dig:
θ \u003d 36,85 grader
