En kvadratisk ekvation är en som innehåller en enda variabel och där variabeln är kvadratisk. Standardformen för denna typ av ekvation, som alltid producerar en parabola när den är i diagram, är ax
<sup>2 + bx
+ c
\u003d 0, där < em> a
, b
och c
är konstanter. Att hitta lösningar är inte lika enkelt som för en linjär ekvation, och en del av orsaken är att det på grund av den kvadratiska termen alltid finns två lösningar. Du kan använda en av tre metoder för att lösa en kvadratisk ekvation. Du kan faktorera termerna, som fungerar bäst med enklare ekvationer, eller så kan du fylla i rutan. Den tredje metoden är att använda den kvadratiska formeln, som är en generaliserad lösning för varje kvadratisk ekvation.
Den kvadratiska formeln</sup>

För en allmän kvadratisk ekvation av formen ax
<sup>2 + bx
+ c
\u003d 0, lösningarna ges med denna formel:</sup>

x
\u003d [- b
± √ ( b
^{2 - 4_ac_)] ÷ 2_a_}

Observera att ± -tecknet inuti parenteserna innebär att det alltid finns två lösningar. En av lösningarna använder [- b
+ √ ( b
<sup>2 - 4_ac_)] ÷ 2_a_, och den andra lösningen använder [- b
- √ ( b
2 - 4_ac_)] ÷ 2_a_.
Använda kvadratisk formel.</sup>

Innan du kan använda den kvadratiska formeln måste du se till att ekvationen är i standardform. Det kanske inte är det. Vissa x
^{2 termer kan finnas på båda sidor av ekvationen, så du måste samla dem på höger sida. Gör samma sak med alla x termer och konstanter.}

Exempel: Hitta lösningarna på ekvationen 3_x_ ^{2 - 12 \u003d 2_x_ ( x
-1).}

1. Konvertera till standardformat
   
   

   Expandera parenteserna:
   

   3_x_ ^{2 - 12 \u003d 2_x_ 2 - 2_x_}
   

   Subtrahera 2_x_ ^{2 och från båda sidor. Lägg till 2_x_ på båda sidorna.}

   3_x_ ^{2 - 2_x_ 2 + 2_x_ - 12 \u003d 2_x_ 2 -2_x_ 2 -2_x_ + 2_x_}
   

   3_x_ < sup> 2 - 2_x_ ^{2 + 2_x_ - 12 \u003d 0}
   

   x
   ^{2 - 2_x_ -12 \u003d 0}
   

   Denna ekvation är i standardform ax
   <sup>2 + bx
   + c
   \u003d 0 där a
   \u003d 1, b
   \u003d −2 och c
   \u003d 12</sup>
   

2. Anslut värdena på a, b och c till den kvadratiska formeln.
   

   Den kvadratiska formeln är
   

   x
   \u003d [- b
   ± √ ( b
   ^{2 - 4_ac_)] ÷ 2_a_}
   

   Sedan a
   \u003d 1, b
   \u003d −2 och c
   \u003d −12, detta blir
   

   x
   \u003d [- (−2) ± √ {( −2) ^{2 - 4 (1 × −12)}] ÷ 2 (1)}
   

3. Förenkla
   
   

   x
   \u003d [2 ± √ {4 + 48}] ÷ 2.
   

   x
   \u003d [2 ± √52] ÷ 2
   

   x
   \u003d [2 ± 7.21] ÷ 2
   

   x
   \u003d 9.21 ÷ 2 och x
   \u003d −5.21 ÷ 2
   

   x
   \u003d 4.605 och x
   \u003d −2.605
   
   Två andra sätt att lösa kvadratiska ekvationer
   

   Du kan lösa kvadratiska ekvationer genom att tillverka. För att göra detta antar du mer eller mindre på ett par siffror att, när de läggs ihop, ger konstanten b
   och, när multipliceras tillsammans, ger konstanten c
   . Denna metod kan vara svår när fraktioner är involverade. och skulle inte fungera bra för exemplet ovan.
   

   Den andra metoden är att slutföra rutan. Om du har en ekvation är standardformat, ax
   <sup>2 + bx
   + c
   \u003d 0, sätt c
   till höger sida och lägg till termen ( b
   /2) 2 till båda sidorna. Detta låter dig uttrycka vänster sida som ( x
   + d
   ) 2, där d
   är en konstant. Du kan sedan ta kvadratroten på båda sidorna och lösa för x
   . Återigen är ekvationen i exemplet ovan lättare att lösa med den kvadratiska formeln.</sup>