Med Super Bowl precis runt hörnet har idrottare och fans av världen sitt fokus fast på det stora spelet. Men för _math_letes kan det stora spelet tänka på ett litet problem relaterat till möjliga poäng i fotbollsspel. Med endast begränsade alternativ för mängden poäng som du kan göra poäng, kan en helhet helt enkelt inte nås, men vad är det högsta? Om du vill veta vad som länkar mynt, fotboll och McDonald's kycklingklumpar är detta ett problem för dig.
Super Bowl Math Problem -

Problemet innebär möjliga poäng antingen Los Angeles Rams eller New England Patriots kunde möjligen uppnå på söndag utan någon säkerhet eller en tvåpunktsomvandling. Med andra ord, de tillåtna sätten att öka sina poäng är 3-punkts fältmål och 7-punkts touchdowns. Så utan säkerheter kan du inte få en poäng på 2 poäng i ett spel med någon kombination av 3s och 7s. På samma sätt kan du inte heller uppnå en poäng på 4, och du kan inte heller få poäng 5.

Frågan är: Vad är den högsta poängen som inte kan uppnås med bara 3-poäng fältmål och 7-punkts touchdowns?

Naturligtvis är touchdowns utan en konvertering värt 6, men eftersom du kan komma till det med två fältmål ändå spelar det ingen roll för problemet. Eftersom vi har att göra med matematik här behöver du inte oroa dig för det specifika lagets taktik eller till och med några begränsningar för deras förmåga att få poäng.

Försök att lösa detta själv innan du går vidare!
Hitta en lösning (det långsamma sättet)

Det här problemet har några komplexa matematiska lösningar (se resurser för fullständig information, men huvudresultatet kommer att introduceras nedan), men det är ett bra exempel på hur detta inte är ' t behövs
för att hitta svaret.

Allt du behöver göra för att hitta en brute-force-lösning är att helt enkelt prova vart och ett av poängen i tur och ordning. Så vi vet att du inte kan göra 1 eller 2, eftersom de är mindre än 3. Vi har redan fastställt att 4 och 5 inte är möjliga, men 6 är, med två fältmål. Kan du få 8 efter 7 (vilket är möjligt)? Nej. Tre fältmål ger 9, och ett fältmål och en konverterad touchdown gör 10. Men du kan inte få 11.

Från denna punkt och framåt visar lite arbete att:
\\ begin {inriktad} 3 × 4 &\u003d 12 \\ 7 7 + (3 × 2) &\u003d 13 \\\\ 7 × 2 &\u003d 14 \\\\ 3 × 5 &\u003d 15 \\\\ 7 + (3 × 3) &\u003d 16 \\\\ (7 × 2) + 3 &\u003d 17 \\ end {inriktad}

Och faktiskt kan du fortsätta så här så länge du vill. Svaret verkar vara 11. Men är det?
Den algebraiska lösningen

Matematiker kallar dessa problem ”Frobenius-myntproblem.” Den ursprungliga formen relaterade till mynt, till exempel: Om du bara hade mynt värderade 4 cent och 11 cent (inte riktiga mynt, men igen, det är matematiska problem för dig), vad är den största summan pengar du inte kunde producera.

Lösningen, i termer av algebra, är den med en poäng värd p
poäng och en poäng värd q
poäng, den högsta poäng du inte kan få ( N
) ges av:
N \u003d pq \\; - \\; (p + q)

Så att ansluta värdena från Super Bowl-problemet ger:
\\ begin {inriktad} N &\u003d 3 × 7 \\; - \\; (3 + 7) \\\\ &\u003d 21 \\; - \\; 10 \\\\ &\u003d 11 \\ end {inriktad}

Vilket är svaret vi fick det långsamma sättet. Så vad händer om du bara kunde göra poängnedslag utan konvertering (6 poäng) och touchdowns med enpunktsomvandlingar (7 poäng)? Se om du kan använda formeln för att räkna ut den innan du läser om.

I detta fall blir formeln:
\\ begin {inriktad} N &\u003d 6 × 7 \\; - \\; (6 + 7) \\\\ &\u003d 42 \\; - \\; 13 \\\\ &\u003d 29 \\ end {inriktad} The Chicken McNugget-problemet

Så spelet är över och du vill belöna det vinnande laget med en resa till McDonald's. Men de säljer bara McNuggets i rutor med 9 eller 20. Så vad är det högsta antalet nuggets du inte kan köpa med dessa (föråldrade) ruta nummer? Försök att använda formeln för att hitta svaret innan du läser på.

Sedan
N \u003d pq \\; - \\; (p + q)

Och med p
\u003d 9 och q
\u003d 20:
\\ börja {inriktad} N &\u003d 9 × 20 \\; - \\; (9 + 20) \\\\ &\u003d 180 \\; - \\; 29 \\\\ &\u003d 151 \\ end {inriktad}

Så förutsatt att du köpte mer än 151 nuggets - det vinnande laget kommer förmodligen att vara ganska hungrig, trots allt - du kan köpa valfritt antal nuggets du ville ha med någon lådekombination.

Du undrar kanske varför vi bara har täckt tvåversionsversioner av det här problemet. Vad händer om vi inkluderade safeties, eller om McDonalds sålde tre storlekar av nuggetlådor? Det finns ingen tydlig formel
i detta fall, och även om de flesta versioner av den kan lösas, är vissa aspekter av frågan helt olösta.

Så kanske när du tittar på spelet eller äter bitstora bitar av kyckling kan du hävda att du försöker lösa ett öppet problem i matematik - det är värt ett försök att komma ur sysslor!