Arbetsenergisatsen säger att det nettoarbete som utförs på ett objekt är lika med förändringen i objektets kinetiska energi.
$$W_{net}=\Delta K$$
Där:
- \(W_{net}\) är det nätverk som utförs på objektet (i joule)
- \(\Delta K\) är förändringen i objektets kinetiska energi (i joule)
Arbetsenergisatsen kan användas för att lösa en mängd olika problem som involverar objekts rörelse. Till exempel kan den användas för att bestämma hastigheten på ett föremål efter att det har påverkats av en kraft, eller för att hitta avståndet ett föremål kommer att färdas innan det stannar.
Bevis för Work-Energy Theorem
Arbetsenergisatsen kan bevisas med hjälp av följande steg:
1. Betrakta ett föremål med massa \(m\) som rör sig med hastigheten \(\överhögerpil{v_i}\). Objektets kinetiska energi ges av:
$$K_i=\frac{1}{2}mv_i^2$$
2. En nettokraft \(\överhögerpil{F}_{net}\) appliceras på objektet, vilket får det att accelerera och ändra dess hastighet till \(\överhögerpil{v_f}\). Arbetet som utförs av nettokraften på föremålet ges av:
$$W_{net}=\overrightarrow{F}_{net}\cdot\overrightarrow{d}$$
Där \(\överhögerpil{d}\) är objektets förskjutning.
3. Förändringen i objektets kinetiska energi ges av:
$$\Delta K=K_f-K_i=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^2$$
4. Vi kan ersätta uttrycket för arbetet som utförs av nettokraften med uttrycket för förändringen i kinetisk energi för att få:
$$W_{net}=\overrightarrow{F}_{net}\cdot\overrightarrow{d}=\Delta K=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^ 2$$
5. Denna ekvation visar att nettoarbetet som utförs på objektet är lika med förändringen i objektets kinetiska energi, vilket bevisar arbetsenergisatsen.
Exempel på Work-Energy Theorem
Arbetsenergisatsen kan användas för att lösa en mängd olika problem som involverar objekts rörelse. Här är några exempel:
* Exempel 1: Ett föremål på 10 kg står stilla på en horisontell yta. En 50-N kraft appliceras på föremålet i 5 sekunder. Vad är objektets hastighet efter 5 sekunder?
Lösning:
Nätarbetet som utförs på objektet är:
$$W_{net}=\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{d}=(50\text{ N})(5\text{ m})=250\text{ J}$$
Förändringen i objektets kinetiska energi är:
$$\Delta K=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^2=\frac{1}{2}(10\text{ kg})v_f^2- 0$$
Genom att sätta nätverket lika med förändringen i kinetisk energi får vi:
$$250\text{ J}=\frac{1}{2}(10\text{ kg})v_f^2$$
När vi löser \(v_f\), får vi:
$$v_f=\sqrt{\frac{2(250\text{ J})}{10\text{ kg}}}=7.07\text{ m/s}$$
Därför är objektets hastighet efter 5 sekunder 7,07 m/s.
* Exempel 2: Ett föremål på 20 kg rör sig med en hastighet av 10 m/s. Vilket arbete krävs för att stoppa föremålet?
Lösning:
Förändringen i objektets kinetiska energi är:
$$\Delta K=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^2=\frac{1}{2}(20\text{ kg})(0)^ 2-\frac{1}{2}(20\text{ kg})(10\text{ m/s})^2=-1000\text{ J}$$
Det negativa tecknet indikerar att arbetet som krävs för att stoppa objektet är negativt, vilket innebär att arbetet måste utföras av objektet.
Därför är arbetet som krävs för att stoppa objektet 1000 J.
