Förstå koncepten
* enkel harmonisk rörelse (SHM): En typ av periodisk rörelse där återställningskraften är proportionell mot förskjutningen från jämvikt. Exempel inkluderar en massa på en fjäder eller en pendel som svänger med små vinklar.
* kinetic energi (KE): Rörelsens energi, som ges av KE =(1/2) MV², där M är massa och V är hastighet.
* Potential Energy (PE): Energin lagrad på grund av ett objekts position eller konfiguration. I SHM beror den potentiella energin ofta på vårens komprimering eller förlängning, och den ges av PE =(1/2) kx², där k är fjäderkonstanten och x är förskjutningen från jämvikt.
härledning
1. lika energier: Vi ges att Ke =pe.
2. Ersättningar: Ersätt ekvationerna för kinetisk och potentiell energi:
(1/2) MV² =(1/2) kx²
3. Förenklade: Avbryt termerna (1/2).
4. RELATE Hastighet och förskjutning: I SHM är hastigheten (V) relaterad till förskjutningen (x) och vinkelfrekvensen (ω) med ekvationen:
v =ω√ (a² - x²) där A är amplituden för svängningen.
5. Ersättare för hastighet: Ersätt hastighetsekvationen i energiekvationen:
m (ω√ (a² - x²)) ² =kx²
6. Lös för förskjutning (x): Förenkla och lösa för x:
MΩ² (A² - X²) =KX²
MΩ²A² =(K + MΩ²) X²
x² =(MΩ²A²)/(K + MΩ²)
x =√ [(MΩ²A²)/(K + MΩ²)]
7. Förhållandet mellan ω och k/m: Kom ihåg att vinkelfrekvensen (ω) i SHM är relaterad till fjäderkonstanten (k) och massa (m) med:
ω =√ (k/m)
8. Ersättare för ω: Ersätt uttrycket för ω i förskjutningsekvationen:
x =√ [(m (k/m) a²)/(k + (k/m) m)]
x =√ [(ka²)/(2k)]
x =√ (a²/2)
9. Slutresultat: Därför är förskjutningen (x) för en enkel harmonisk oscillator när dess kinetiska och potentiella energier är lika:
x =A/√2
Tolkning
Detta resultat visar att när de kinetiska och potentiella energierna är lika i enkel harmonisk rörelse, är förskjutningen lika med amplituden hos oscillationen dividerad med kvadratroten på 2. Med andra ord är förskjutningen cirka 70,7% av amplituden.
