När ingenjörer designar ett nytt flygplan, de utför mycket av de inledande testerna inte på fullstora jetplan utan på modellplan som har skalats ner för att passa in i en vindtunnel. I denna mer hanterbara miljö, de kan studera luftflödet runt ett flygplan under alla möjliga experimentella förhållanden.

Forskare kan sedan tillämpa skalningslagar – matematiska proportionalitetsförhållanden – för att extrapolera hur ett jetplan i full storlek skulle prestera, baserat på beteendet hos dess miniatyrmotsvarighet.

Nu har ingenjörer vid MIT kommit på en liknande skalningslag för att beskriva hur föremål rör sig genom sand. Skalningslagen kan användas för att förutsäga hur stora lastbilar och bilar kör igenom detta material, baserat på hur leksaksversioner av dessa fordon kör genom en experimentell sandlåda som innehåller samma korn.

Ken Kamrin, docent i maskinteknik vid MIT, säger att skalningslagen kan möjliggöra ett brett utbud av småskaliga experiment för att finslipa designen av storskaliga fordon, som mer optimerade traktorer, bulldozers, och tankar. Det kan också användas för att översätta ett fordons rörelse på jorden till en rovers navigering på Mars, eftersom förhållandet tillåter skalning av gravitationen också.

"Jag är glad över att detta kan vara ett nytt verktyg vi kan använda för att designa rovers för Mars, " säger Kamrin. "Om vi ​​hade en simulant av marsjord i labbet, vi skulle kunna göra experiment med en hjulform som vi vill testa, och använd sedan denna skalningslag för att, med större noggrannhet, kunna berätta för dig om det hjulet skulle fastna på Mars."

Kamrin har publicerat en artikel som beskriver skalningslagen i tidskriften Fysisk granskning E . Hans medförfattare är tidigare doktorand James Slonaker, tidigare doktorand D. Carrington Motley, doktorand Qiong Zhang, student Stephen Townsend, tidigare forskare Carmine Senatore, och huvudforskaren Karl Iagnemma.

Ge ryggraden till skalning

Flygplansingenjörer använder vanligtvis skalningslagar för att, till exempel, bestämma den minsta lyftkraft som krävs för att hålla en fullstor jet uppe, baserat på samma minimilyft för ett modellplan. Sådana skalningslagar härleds initialt från fysikbaserade ekvationer som beskriver hur en vätska, som luft, beter sig.

"Tanken är, om du kan identifiera skalningar inom vätskeflödesekvationerna, de kan användas som ett omedelbart sätt att översätta mellan små och storskaliga resultat, säger Kamrin.

Hans team letade efter sätt att härleda en skalningslag från vanliga ekvationer för granulärt flöde. De tittade först på en generaliserad uppsättning ekvationer, känd som resistiv kraftteori (RFT), som används för att beräkna motståndskraften på ett föremål som rör sig genom en bädd av korn som sand.

"RFT kommer inte att förutsäga hur sand rör sig eller fördelar stress, " säger Kamrin. "Dess enda syfte är att berätta hur mycket kraft som behövs för att flytta ett föremål med en godtycklig form, i en viss riktning, genom sand."

Forskarna försökte förenkla RFT-formeln genom att göra många av dess input dimensionslösa, eller utan enheter.

"Detta låter oss i slutändan extrahera skalningsrelationerna, " säger Kamrin. "T.ex. "meter" är inte en naturlig längd – det är något vi har uppfunnit. Om vi ​​blir av med alla dessa enheter, vi blir kvar med köttet, lite sanning till systemet."

Kamrins team använde Buckinghams teorem, ryggraden i matematisk skalning, att vinna vissa variabler i RFT, såsom ett hjuls längd, bredd, och massa, till dimensionslösa parametrar, därigenom förenkla den övergripande ekvationen. Tanken är att genom att härleda en ekvation som inte är beroende av vissa enheter, samma ekvation kan användas för att skapa regler för hur man översätter mellan skalor i samma system.

Efter att ha härlett en skalningslag från RFT, forskarna tittade för att se om de kunde göra detsamma med en annan uppsättning granulära flödesekvationer, en kontinuummodell baserad på friktionsvikt. Dessa mycket mer detaljerade ekvationer beskriver flödet av sand och kraften som den skapar när den trycker mot ett inträngande föremål som ett hjul. Även för dessa mer komplexa ekvationer, teamet fann att det kunde härleda en skalningslag som matchade den de utvecklade från den enklare RFT-modellen.

"Det visade sig att de båda gav samma svar, så vi trodde att den här [skalningslagen] kanske skulle fungera, säger Kamrin.

Körprov

För att testa skalningslagen, Kamrin och hans kollegor utförde experiment i MIT:s Robotic Mobility Group-labb, där ingenjörer har satt upp ett räls- och remskissystem som stödjer ett motordrivet hjul när det kör genom en underliggande sandbädd. Kamrins team använde en 3D-skrivare för att konstruera små och stora versioner av två olika hjulformer:en typisk cylindrisk design och ett "klack"-hjul med fyra armar som sträcker sig från en central cylinder.

De två formerna valdes för att visa två distinkta körbeteenden, eftersom cylindriska hjul kör smidigt med begränsad sjunkning, medan klackhjul gräver igenom och tar bort sandfickor när de kör.

Forskarna mätte varje hjuls dimensioner och laddade dem med olika mängder vikter, körde sedan varje hjul genom sandbädden ett i taget, notera kraften och hastigheten hos de små hjulen jämfört med deras större motsvarigheter.

De utförde 288 sådana experiment, varje gång man varierar hjulets dimensioner, rotationshastigheter, och massor. De använde sedan sin skalningslag för att se om de kunde förutsäga de stora hjulens hastighet och kraft, baserat på deras mindre versioners prestanda.

"Vår data följde förutsägelserna, " säger Kamrin. "De små testerna förutspådde de stora testerna, i kvantitativ grad. Vi validerade många gånger om skalningslagens riktighet."

Går framåt, teamet säger att dess skalningslag kan användas för att designa fordon som bättre kan navigera i sandig terräng.

"Tänk på bulldozers, grävmaskiner, alla dessa saker som behöver manipulera och flytta runt granulärt material, ", säger Kamrin. "Dessa är inte riktigt optimerade. Mycket utrustning som används inom industrin är baserad på tumregler, men resultat som detta kan ge en ny typ av verktyg för att hitta de bästa designerna."

Den här historien återpubliceras med tillstånd av MIT News (web.mit.edu/newsoffice/), en populär webbplats som täcker nyheter om MIT-forskning, innovation och undervisning.