Forskning som leds av Queen Mary University of London, föreslår en ny Kuramoto-modell av "högre ordning" som kombinerar topologi med dynamiska system och kännetecknar synkronisering i högre ordningens nätverk för första gången.

Som en orkester som spelar i takt utan en dirigent, elementen i ett komplext system kan naturligt synkroniseras med varandra. Detta kollektiva fenomen, känd som synkronisering, förekommer i hela naturen, från nervceller som skjuter tillsammans i hjärnan till eldflugor som blinkar unisont i mörkret.

Kuramoto-modellen används för att studera synkronisering som observeras i komplexa system. Komplexa system representeras ofta matematiskt av nätverk, där komponenter i systemet representeras som noder, och länkarna mellan noder visar interaktioner mellan dem.

De flesta studier av synkronisering har fokuserat på nätverk, där noder är värd för dynamiska oscillatorer som beter sig som klockor, och koppla ihop med sina grannar längs nätverkets länkar. Dock, de allra flesta komplexa system har en rikare struktur än nätverk och inkluderar interaktioner av högre ordning som sker mellan mer än två noder. Dessa högre ordningens nätverk kallas enkla komplex och har studerats omfattande av matematiker som arbetar i diskret topologi.

Nu, forskning ledd av professor Ginestra Bianconi, Professor i tillämpad matematik vid Queen Mary University of London, föreslår en ny Kuramoto-modell av "högre ordning" som kombinerar topologi med dynamiska system och kännetecknar synkronisering i högre ordningens nätverk för första gången.

Studien fann att synkronisering av högre ordning sker abrupt, på ett "explosivt" sätt, vilket skiljer sig från standard Kuramoto-modellen där synkronisering sker gradvis.

Matematikern Christiaan Huygens identifierade först synkronisering 1665 när han observerade att två pendelur som hängde i samma träbalk svängde i takt med varandra. Dock, det var inte förrän 1974 som en enkel matematisk modell för att beskriva detta kollektiva fenomen föreslogs av den japanske fysikern Yoshiki Kuramoto.

Kuramotos modell fångar synkronisering i ett stort nätverk där varje nod är värd för en klockliknande oscillator, som är kopplad till andra oscillatorer på angränsande noder. I avsaknad av länkar mellan noderna lyder varje oscillator sin egen dynamik och är opåverkad av sina grannar. Dock, när interaktionen mellan grannnoder växlar till över ett givet värde, oscillatorerna börjar slå med samma frekvens.

Medan Kuramoto-modellen beskriver synkronisering av dynamik associerad med noderna i ett nätverk i enkla komplex av högre ordningsobjekt i nätverket, som länkar eller trianglar, kan också uppvisa dynamiska eller "topologiska" signaler såsom flöden.

I den nya studien, forskarna föreslår en Kuramoto-modell av högre ordning som kan beskriva synkronisering av dessa topologiska signaler. Som topologiska signaler, såsom flöden, kan hittas i hjärnan och i biologiska transportnätverk föreslår forskarna att denna nya modell kan avslöja högre ordningssynkronisering som tidigare har gått obemärkt förbi.

Professor Bianconi, huvudförfattare till studien, sa:"Vi kombinerade Hodge-teorin, en viktig gren av topologi, med teorin om dynamiska system för att belysa högre ordningssynkronisering. Med vårt teoretiska ramverk kan vi behandla synkronisering av topologiska dynamiska signaler associerade till länkar, som flöden, eller till trianglar eller andra högre ordningens byggstenar i högre ordningens nätverk. Dessa signaler kan genomgå synkronisering, men denna synkronisering kan vara obemärkt om de korrekta topologiska transformationerna inte utförs. Det vi föreslår här är motsvarigheten till en Fouriertransform för topologiska signaler som kan avslöja denna övergång i verkliga system som hjärnan".

Den diskontinuerliga övergången som upptäcktes av studien tyder också på att synkroniseringsfenomenet inte bara är spontant utan uppstår abrupt, avslöjar hur topologi kan framkalla dramatiska förändringar av dynamiken i början av synkroniseringsövergången.