I en ny studie har forskare undersökt den genomgripande lågrankade hypotesen i komplexa system, vilket visar att trots högdimensionell olinjär dynamik uppvisar många verkliga nätverk snabbt minskande singularvärden, vilket stöder genomförbarheten av effektiv dimensionsreduktion för att förstå och modellera komplexa systembeteenden .
Resultaten av studien publiceras i Nature Physics .
Komplexa system hänvisar till invecklade, sammanlänkade strukturer eller processer som kännetecknas av många komponenter med icke-linjär interaktion, vilket gör deras beteende utmanande att förutsäga utifrån egenskaperna hos enskilda delar.
Exempel inkluderar ekosystem, neurala nätverk och sociala strukturer, där kollektiva interaktioner leder till framväxande fenomen och självorganisering. Att förstå komplexa system innebär att studera mönster, återkopplingsslingor och dynamiska beteenden över olika skalor, vilket bidrar till fysik, biologi, sociologi och nätverksvetenskap.
Komplexa system utgör ofta utmaningar när det gäller att förstå deras storskaliga beteende på grund av den högdimensionella olinjära dynamiken som är involverad. Nu har forskare under ledning av Vincent Thibeault, en Ph.D. Student vid Université Laval i Québec, Kanada, strävar efter att möta denna utmaning genom att utforska den inneboende enkelheten hos komplexa system och hitta en optimal dimension för att förenkla modeller.
"Genom att läsa ett stort spektrum av artiklar om ämnet, från nätverksvetenskap till neurovetenskap, kom Patrick och jag till en punkt där det var uppenbart att det fanns en lågrankad hypotes om matrisen som användes för att beskriva verkliga nätverk och interaktionerna i många högdimensionella olinjära dynamiska system."
"Med Antoine i vårt team, som har ägnat flera år åt att främja nätverksvetenskap, var vi övertygade om att fördjupa oss i den här forskningen," sa Thibeault till Phys.org.
Hjärnan är ett komplext system med flera interagerande element, som i detta fall är neuronerna. Neuroner kommunicerar med varandra genom elektriska signaler som kallas aktionspotentialer.
När grupper av neuroner synkroniserar sin avfyring kan det förbättra effektiviteten av informationsbearbetning och överföring. Denna synkroniserade aktivitet är ett framväxande fenomen på grund av delarnas kollektiva fenomen och kan förändra deras funktioner, vilket leder till tillstånd som epilepsi.
"Trots denna höga dimensionalitet uppvisar det invecklade nätverket av interaktioner låga effektiva dimensioner. Detta innebär att endast ett fåtal väl valda variabler (eller observerbara) kan vara tillräckliga för att beskriva de framväxande makroskopiska egenskaperna hos komplexa system."
"Ändå måste man vara mycket försiktig när man väljer dimension för att beskriva dessa system, eftersom man kan förlora systemets framträdande egenskaper och till och med skapa nya typer av interaktioner", förklarade Thibeault.
Forskarna försökte validera denna lågrankade hypotes, i syfte att hitta en optimal dimension för dimensionalitetsreduktion. De ville förstå om dynamiken i högdimensionella komplexa system beror på beteendet hos lågrankade matriser och om denna hypotes gäller för ett brett spektrum av nätverk.
Forskarna använde ett kraftfullt matematiskt verktyg för att testa sin låga hypotes, singular value decomposition (SVD). SVD är en teknik från linjär algebra som dissekerar en matris i tre väsentliga komponenter.
De vänstra singularvektorerna (U) beskriver hur komponenter i systemet förhåller sig till varandra. Singularvärdena (Σ) indikerar vikten av varje komponent, och de rätta singularvektorerna (V) fångar hur varje komponent påverkar det övergripande systemet.
När SVD tillämpades på nätverkens viktmatriser fokuserade forskarna på att förstå beteendet hos enstaka värden. De observerade en snabb minskning av dessa singulära värden när de analyserade verkliga nätverk, vilket gav empiriska bevis för hypotesen med låg rang.
Denna analys gjorde det möjligt för dem att validera hypotesen med låg rang, vilket bekräftade att dynamiken i högdimensionella komplexa system effektivt kan reduceras till en lägre dimension, vilket ger insikter i den optimala dimensionaliteten för att förenkla modeller och förstå framväxande makroskopiska egenskaper.
Förutom att validera hypotesen med låg rang genom den snabba minskningen av singulära värden, fann forskarna också att denna analys gjorde det möjligt för dem att kvantifiera den effektiva rangordningen av nätverk.
Effektiva rankningsmätningar, såsom stabil rankning, gav kvantitativa indikatorer som stödde lågrankningshypotesen. Detta stärkte ytterligare förståelsen att trots komplexa systems intrikata och högdimensionella karaktär kan deras beteenden verkligen fångas exakt med ett betydligt lägre antal dimensioner, vilket ger en mer hanterbar och insiktsfull representation för vetenskapliga undersökningar och modelleringsändamål.
"Ursprunget till interaktioner av högre ordning var inte ens ett ämne som vi tänkte på från början i vår forskningsprocess. I själva verket, efter att ha verifierat hypotesen med låg rang, var vi bara oroliga för att hitta en optimal dimensionsreduktionsmetod", konstaterade Thibeault .
Forskarna gick ett steg längre och gav sig in i den verkliga komplexiteten hos nätverk.
Experimentell granskning, inklusive undersökningar av kopplingen till Drosophila melanogaster, gav empiriska bevis genom att bekräfta det snabba förfallet av singularvärden.
Ett connectome är den kompletta kartan över neurala förbindelser i D. melanogaster, en art av fruktfluga. Denna påtagliga verifiering överskrider teoretiska ramar, vilket bekräftar tillämpligheten av hypotesen med låg rang i komplexa system.
Thibeault lyfte fram betydelsen av dessa empiriska insikter och sa:"Dessa förmågor är viktiga inom områden som ekologi, epidemiologi och neurovetenskap, där att göra välgrundade förutsägelser och utöva en viss nivå av kontroll är nyckelmål, även under starka förenklade antaganden."
"Att identifiera gränserna för våra matematiska modeller (som slumpmässiga grafer och dynamiska system) för att beskriva naturfenomen är således en grundläggande uppgift för modelleraren, och fastställandet av den lågrankade hypotesen är en del av denna ansträngning för komplexa system."
När vi blickar framåt föreställer sig forskarna en utforskning av ursprunget till snabba singulära värdeminskningar i verkliga nätverk, och förutser värdefulla insikter om motståndskraften hos komplexa adaptiva system.
Thibeault förklarade, "Komplexa system är i sig adaptiva system, med nätverket av interaktioner och systemdynamiken som utvecklas i enlighet med dess miljö och inneboende beteende."
"Modellerna som beskriver sådan anpassning är mycket mer invecklade, vilket gör dimensionsreduktion till ett viktigt verktyg för att få insikter i systemets funktioner och motståndskraft. Vi planerar att grundligt undersöka och diskutera konsekvenserna av våra observationer på komplexa adaptiva system i framtiden.
Jianxi Gao har publicerat en News &Views-artikel i samma tidskriftsnummer om arbetet av Thibeaults team.
Mer information: Vincent Thibeault et al, The low-rank hypothesis of complex systems, Naturfysik (2024). DOI:10.1038/s41567-023-02303-0
Jianxi Gao, Intrinsic simplicity of complex systems, Naturfysik (2024). DOI:10.1038/s41567-023-02268-0
Journalinformation: Naturfysik
© 2024 Science X Network
