De flesta vet om energibesparing. I ett nötskal säger det att energi bevaras; den är inte skapad och den förstörs inte, och den ändras helt enkelt från en form till en annan.

Så om du håller en boll helt stilla, två meter över marken, och sedan släpper den, var gör Hur kan någonting helt fortfarande få så mycket kinetisk energi innan det träffar marken?

Svaret är att stillbildskulan har en form av lagrad energi som kallas gravitationspotentialenergi, eller GPE för kort . Detta är en av de viktigaste formerna av lagrad energi som en gymnasieelev kommer att stöta på i fysik.

GPE är en form av mekanisk energi som orsakas av objektets höjd ovanför jordens yta (eller verkligen, alla andra källor till ett gravitationsfält). Varje objekt som inte befinner sig på den lägsta energipunkten i ett sådant system har viss gravitationspotentialenergi, och om den släpps (dvs. tillåts falla fritt) kommer den att accelerera mot mitten av gravitationsfältet tills något stoppar det. br>

Även om processen för att hitta ett förmåls gravitationspotentialenergi är ganska enkelt matematiskt, är konceptet utomordentligt användbart när det gäller att beräkna andra mängder. Till exempel, att lära sig om GPE-konceptet gör det riktigt enkelt att beräkna den kinetiska energin och den slutliga hastigheten för ett fallande objekt.
Definition av Gravitational Potential Energy -

GPE beror på två viktiga faktorer: objektets position relativt ett gravitationsfält och objektets massa. Kroppens masscentrum som skapar gravitationsfältet (på jorden, planetens centrum) är den lägsta energipunkten i fältet (även om den faktiska kroppen i praktiken kommer att stoppa fallet före denna punkt, som jordens yta gör ), och ju längre från denna punkt ett objekt är, desto mer lagrad energi har den på grund av sin position. Mängden lagrad energi ökar också om objektet är mer massivt.

Du kan förstå den grundläggande definitionen av gravitationspotentialenergi om du tänker på en bok som vilar ovanpå en bokhylla. Boken har potential att falla mot golvet på grund av dess upphöjda position relativt marken, men en som börjar på golvet kan inte falla, för den är redan på ytan: Boken på hyllan har GPE, men en på marken inte.

Intuition kommer också att säga att en bok som är dubbelt så tjock kommer att göra dubbelt så stor pussel när den träffar marken; detta beror på att massan på objektet är direkt proportionell mot mängden gravitationspotentialenergi som ett objekt har.
GPE Formel

Formeln för gravitationspotentialenergi (GPE) är verkligen enkel, och den relaterar massan m
, accelerationen på grund av tyngdkraften på jorden g
) och höjd över jordytan h
till den lagrade energin på grund av tyngdkraften:
GPE \u003d mgh

Som det är vanligt i fysiken finns det många potentiella olika symboler för gravitationell potentiell energi, inklusive U
_{g, PE
grav och andra. GPE är ett mått på energi, så resultatet av denna beräkning blir ett värde i joule (J).}

Accelerationen på grund av jordens tyngdkraft har ett (ungefär) konstant värde var som helst på ytan och pekar direkt på planetens masscentrum: g \u003d 9,81 m /s ^{2. Med tanke på detta konstanta värde är de enda sakerna du behöver för att beräkna GPE massans objekt och höjden på objektet ovanför ytan.
GPE Beräkningsexempel}

Så vad gör du om du behöver beräkna hur mycket gravitationspotentialenergi ett objekt har? I huvudsak kan du enkelt definiera objektets höjd baserat på en enkel referenspunkt (marken fungerar vanligtvis bra) och multiplicera detta med dess massa m
och den markbundna gravitationskonstanten g
för att hitta GPE.

Föreställ dig till exempel en 10 kg massa som är upphängd en höjd av 5 meter över marken med ett remskiva. Hur mycket gravitationspotentialenergi har den?

Att använda ekvationen och ersätta de kända värdena ger:
\\ begin {inriktad} GPE &\u003d mgh \\\\ &\u003d 10 \\; \\ text {kg} × 9,81 \\; \\ text {m /s} ^ 2 × 5 \\; \\ text {m} \\\\ &\u003d 490.5 \\; \\ text {J} \\ slut {inriktad}

Men om du har tänkt på när du läser den här artikeln kanske du har övervägt en intressant fråga: Om gravitationspotentialenergin för ett objekt på jorden bara verkligen är noll om den är i massans centrum (dvs inne i jordens kärna), varför beräknar du den som om jordens yta är h
\u003d 0?

Sanningen är att valet av "noll" -punkt för höjd är godtyckligt, och det görs vanligtvis för att förenkla problemet vid hand. När du beräknar GPE är du verkligen mer bekymrad över gravitationspotentialenergi förändringar
snarare än någon form av absolut mått på den lagrade energin.

I huvudsak spelar det ingen roll om du bestämmer dig för att ringa ett bord h
\u003d 0 snarare än jordens yta eftersom du alltid faktiskt
pratar om förändringar i potentiell energi relaterad till höjdförändringar.

Tänk på , sedan lyfter någon en 1,5-kg fysikbok från ytan på ett skrivbord och lyfter den 50 cm (dvs. 0,5 m) över ytan. Vad är den gravitationella potentiella energiförändringen (betecknad ∆ GPE
) för boken när den lyfts?

Tricket är naturligtvis att kalla bordet referenspunkten, med en höjd av h
\u003d 0, eller motsvarande, för att överväga höjdförändringen (∆ h
) från den ursprungliga positionen. I båda fallen får du:
\\ begin {inriktad} ∆GPE &\u003d mg∆h \\\\ &\u003d 1.5 \\; \\ text {kg} × 9,81 \\; \\ text {m /s} ^ 2 × 0,5 \\ ; \\ text {m} \\\\ &\u003d 7.36 \\; \\ text {J} \\ end {inriktad} Sätt “G” in i GPE

Det exakta värdet för gravitationsacceleration g
in GPE-ekvationen har en stor inverkan på gravitationspotentialenergin hos ett objekt som höjs ett visst avstånd över en källa till ett gravitationsfält. På Mars-ytan är till exempel värdet på g
ungefär tre gånger mindre än på jordens yta, så om du lyfter samma objekt på samma avstånd från Mars-ytan, skulle det har ungefär tre gånger mindre lagrad energi än på jorden.

På samma sätt, även om du kan uppskatta värdet på g
till 9,81 m /s ^{2 över jordens yta till havs nivå, det är faktiskt mindre om du flyttar ett väsentligt avstånd från ytan. Om du till exempel var på en Mt. Everest, som stiger upp 8 848 m (8,848 km) över jordytan, att vara så långt borta från planetens masscentrum skulle minska värdet på g
något, så du skulle ha g
\u003d 9,79 m /s 2 på toppen.}

Om du framgångsrikt hade klättrat berget och lyft en 2 kg massa 2 m från toppen av berget i luften, vad skulle vara förändringen i GPE?

Som att beräkna GPE på en annan planet med ett annat värde på g
, anger du helt enkelt värdet för g
som passar situationen och går genom samma process som ovan:
\\ start {inriktad} ∆GPE &\u003d mg∆h \\\\ &\u003d 2 \\; \\ text {kg} × 9,79 \\; \\ text {m /s} ^ 2 × 2 \\ ; \\ text {m} \\\\ &\u003d 39.16 \\; \\ text {J} \\ slut {inriktad}

Vid havsnivå på jorden, med g
\u003d 9,81 m /s ^{2, att lyfta samma massa skulle ändra GPE genom:
\\ börja {inriktad} ∆GPE &\u003d mg∆h \\\\ &\u003d 2 \\; \\ text {kg} × 9,81 \\; \\ text {m /s} ^ 2 × 2 \\; \\ text {m} \\\\ &\u003d 39.24 \\; \\ text {J} \\ end {inriktad}}

Det här är ingen enorm skillnad, men det är tydligt visar att höjden påverkar förändringen i GPE när du utför samma lyftrörelse. Och på ytan av Mars, där g
\u003d 3,75 m /s ^{2 skulle det vara:
\\ börja {inriktad} ∆GPE &\u003d mg∆h \\\\ &\u003d 2 \\; \\ text {kg} × 3,75 \\; \\ text {m /s} ^ 2 × 2 \\; \\ text {m} \\\\ &\u003d 15 \\; \\ text {J} \\ slut {inriktad}}

Som du kan se, värdet av g
är mycket viktigt för det resultat du får. Genom att utföra samma lyftrörelse i djupa rymden, långt borta från påverkan från tyngdkraften, skulle det väsentligen inte förändras gravitationspotentialenergi.
Hitta kinetisk energi med hjälp av GPE.

Energibesparing användas tillsammans med begreppet GPE för att förenkla många beräkningar inom fysik. Kort sagt, under påverkan av en "konservativ" kraft, bevaras total energi (inklusive kinetisk energi, gravitationspotentialenergi och alla andra former av energi).

En konservativ kraft är en där mängden arbete som utförs mot kraften att flytta ett objekt mellan två punkter beror inte på den väg som tagits. Så gravitationen är konservativ eftersom att lyfta ett objekt från en referenspunkt till en höjd h och ändrar gravitationspotentialenergin med mgh
, men det gör ingen skillnad om du flyttar den i en S-formad bana eller en rak linje - det ändras alltid bara med mgh
.

Föreställ dig nu en situation där du tappar en 500 g (0,5 kg) boll från en höjd på 15 meter. Ignorerar effekten av luftmotstånd och antar att den inte roterar under dess fall, hur mycket kinetisk energi kommer bollen att ha just nu innan den kommer i kontakt med marken?

Nyckeln till detta problem är det faktum att total energi bevaras, så all kinetisk energi kommer från GPE, och så kan den kinetiska energin E
_{k vid dess maximala värde vara lika med GPE vid dess maximala värde, eller GPE
\u003d E
k. Så du kan lösa problemet enkelt:
\\ börja {inriktat} E_k &\u003d GPE \\\\ &\u003d mgh \\\\ &\u003d 0.5 \\; \\ text {kg} × 9,81 \\; \\ text {m /s} ^ 2 × 15 \\; \\ text {m} \\\\ &\u003d 73.58 \\; \\ text {J} \\ end {inriktad} Hitta slutlig hastighet med hjälp av GPE och energibesparing}

Energibesparing förenklar många andra beräkningar som involverar gravitationell potentiell energi också. Tänk på bollen från det föregående exemplet: nu när du känner till den totala kinetiska energin baserad på dess gravitationspotentialenergi vid dess högsta punkt, vad är bollens sluthastighet just nu innan den träffar jordens yta? Du kan beräkna detta baserat på standardekvationen för kinetisk energi:
E_k \u003d \\ frac {1} {2} mv ^ 2

Med värdet E
_{k känt, du kan ordna ekvationen och lösa för hastigheten v
:
\\ börja {inriktad} v &\u003d \\ sqrt {\\ frac {2E_k} {m}} \\\\ &\u003d \\ sqrt {\\ frac {2 × 73.575 \\; \\ text {J}} {0.5 \\; \\ text {kg}}} \\\\ &\u003d 17.16 \\; \\ text {m /s} \\ slut {inriktad}}

Du kan dock använd energibesparing för att härleda en ekvation som gäller alla fallande objekt, genom att först notera att i situationer som denna, -∆ GPE
\u003d ∆ E
< sub> k, och så:
mgh \u003d \\ frac {1} {2} mv ^ 2

Avbryta m
från båda sidor och omarrangera ger:
gh \u003d \\ frac {1} {2} v ^ 2 \\\\ \\ text {Därför} \\; v \u003d \\ sqrt {2gh}

Observera att denna ekvation visar att massan inte ignorerar sluthastigheten genom att ignorera luftmotstånd v
, så om du tappar två föremål från samma höjd, kommer de att träffa marken på exakt samma tid och falla med samma hastighet. Du kan också kontrollera det erhållna resultatet med den enklare tvåstegsmetoden och visa att den här nya ekvationen verkligen ger samma resultat med de rätta enheterna.
Derivera Extra-Terrestrial Values of g Användning av GPE

Slutligen ger den tidigare ekvationen dig också ett sätt att beräkna g
på andra planeter. Föreställ dig att du tappade bollen på 0,5 kg från 10 m över Mars-ytan och registrerade en sluthastighet (strax innan den träffade ytan) på 8,66 m /s. Vad är värdet av g
på Mars?

Börjar från ett tidigare steg i omarrangemanget:
gh \u003d \\ frac {1} {2} v ^ 2

Du ser det:
\\ börja {inriktad} g &\u003d \\ frac {v ^ 2} {2h} \\\\ &\u003d \\ frac {(8.66 \\; \\ text {m /s}) ^ 2} {2 × 10 \\; \\ text {m}} \\\\ &\u003d 3,75 \\; \\ text {m /s} ^ 2 \\ end {inriktad}

Energibesparing i kombination med ekvationerna för gravitationspotentialenergi och kinetisk energi, har många användningsområden, och när du vänjer dig på att utnyttja relationerna kommer du att kunna lösa ett stort antal klassiska fysikproblem med lätthet.