Att lösa mysterierna om elektromagnetism har varit en av de största prestationerna i fysiken hittills, och lärdomarna är helt inkapslade i Maxwells ekvationer.

James Clerk Maxwell ger sitt namn till dessa fyra eleganta ekvationer, men de är kulminationen på årtiondenars arbete av många fysiker, inklusive Michael Faraday, Andre-Marie Ampere och Carl Friedrich Gauss - som ger sina namn till tre av de fyra "equations – and many others.", 3, [[Medan Maxwell själv bara lägger till en term i en av de fyra ekvationerna, hade han framsynen och förståelsen för att samla det bästa av det arbete som gjorts i ämnet och presentera dem på ett sätt som fortfarande används av fysiker idag.

Under många, många år trodde fysiker att elektricitet och magnetism var separata krafter och distinkta fenomen. Men genom det experimentella arbetet med människor som Faraday blev det allt tydligare att de faktiskt var två sidor av samma fenomen, och Maxwells ekvationer presenterar denna enhetliga bild som fortfarande är lika giltig idag som den var på 1800-talet. Om du ska studera fysik på högre nivåer, måste du absolut veta Maxwells ekvationer och hur du använder dem.
Maxwells ekvationer

Maxwells ekvationer är följande, både i den differentiella formen och i den integrerade form. (Observera att även om kunskap om differentiella ekvationer är till hjälp här, är en konceptuell förståelse möjlig även utan den.)

Gauss 'lag för elektricitet -

Differensform:
\\ bm {∇ ∙ E} \u003d \\ frac {ρ} {ε_0}

Integrerad form:
\\ int \\ bm {E ∙} d \\ bm {A} \u003d \\ frac {q} {ε_0}

Ingen monopollag /Gauss 'lag för magnetism

Differensform:
\\ bm {∇ ∙ B} \u003d 0

Integrerad form:
\\ int \\ bm {B ∙} d \\ bm {A} \u003d 0

Faradays induktionslag

Differensform:
\\ bm {∇ × E} \u003d - \\ frac {∂ \\ bm {B}} {∂t}

Integrerad form:
\\ int \\ bm {E ∙} d \\ bm {s} \u003d - \\ frac {∂ \\ phi_B} {∂t}

Ampere-Maxwell Law /Ampere's Law

Differensform:
\\ bm {∇ × B} \u003d \\ frac {J} {ε_0 c ^ 2} + \\ frac {1} {c ^ 2} \\ frac {∂E} {∂t}

Integrerad form:
\\ int \\ bm {B ∙} d \\ bm {s} \u003d μ_0 I + \\ frac {1} {c ^ 2} \\ frac {∂} {∂t} \\ int \\ bm {E ∙} d \\ bm {A } Symboler som används i Maxwells ekvationer

Maxwells ekvationer använder ett ganska stort urval av symboler, och i Det är viktigt att du förstår vad dessa betyder om du ska lära dig att tillämpa dem. Så här är en nedskärning av betydelsen av de symboler som används:

B
\u003d magnetfält

E
\u003d elektriskt fält

ρ
\u003d elektrisk laddningstäthet

ε _{0
\u003d permittivitet för fritt utrymme \u003d 8.854 × 10 ^{-12 m -3 kg -1 s 4 A 2}}

q
\u003d total elektrisk laddning (nettosumma av positiva laddningar och negativa laddningar)

< em> 𝜙
_{B \u003d magnetiskt flöde}

J
\u003d strömtäthet

I
\u003d elektrisk ström |

c
\u003d ljusets hastighet \u003d 2.998 × 10 ^{8 m /s}

μ
0 \u003d permeabilitet fritt utrymme \u003d 4π × 10 < sup> −7 N /A ²

Dessutom är det viktigt att veta att ∇ är deloperatören, en punkt mellan två kvantiteter ( X
∙ Y
) visar en skalprodukt, en fet fet multiplikationssymbol mellan två kvantiteter är en vektorprodukt ( X
× Y
), att deloperatören med en punkt kallas "divergens" ( t.ex. ∇ ∙ X
\u003d d ivergens av X
\u003d div X
) och en deloperatör med en skalprodukt kallas curlen (t.ex. ∇ × Y
\u003d curl av Y
\u003d curl Y
). Slutligen betyder A
i d A
ytan på den stängda ytan du beräknar för (ibland skriven som d S
) och s
i d_s_ är en mycket liten del av gränsen för den öppna ytan du beräknar för (även om detta ibland är d_l_, med hänvisning till en oändligt liten linjekomponent).
Derivation of the Equations

Den första ekvationen av Maxwells ekvationer är Gauss lag och den säger att det elektriska nettoflödet genom en sluten yta är lika med den totala laddningen som finns i formen dividerad med permittiviteten för fritt utrymme. Denna lag kan härledas från Coulombs lag, efter att ha tagit det viktiga steget för att uttrycka Coulombs lag i termer av ett elektriskt fält och vilken effekt det skulle ha på en testladdning.

Den andra av Maxwells ekvationer motsvarar väsentligen uttalandet att "det inte finns några magnetiska monopoler." Det säger att det magnetiska nettoflödet genom en stängd yta alltid kommer att vara 0, eftersom magnetfält alltid är resultatet av en dipol. Lagen kan härledas från Biot-Savart-lagen, som beskriver magnetfältet som produceras av ett aktuellt element.

Den tredje ekvationen - Faradays induktionslag - beskriver hur ett förändrat magnetfält producerar en spänning i en slinga av tråd eller ledare. Det härstammades ursprungligen från ett experiment. Med tanke på resultatet att ett växlande magnetiskt flöde inducerar en elektromotorisk kraft (EMF eller spänning) och därmed en elektrisk ström i en trådslinga, och det faktum att EMF definieras som linjen integral i det elektriska fältet runt kretsen, lag är lätt att sätta ihop.

Den fjärde och sista ekvationen, Amperes lag (eller Ampere-Maxwell-lagen för att ge honom kredit för hans bidrag) beskriver hur ett magnetfält genereras av en rörlig laddning eller en förändring elektriskt fält. Lagen är resultatet av experiment (och så - som alla Maxwells ekvationer - var inte riktigt "härledd" i traditionell mening), men att använda Stokes teorem är ett viktigt steg för att få det grundläggande resultatet till den form som används idag.
Exempel på Maxwells ekvationer: Gauss lag

För att vara uppriktig, särskilt om du inte exakt är uppe på din vektorkalkyl, ser Maxwells ekvationer ganska skrämmande trots hur relativt kompakta de alla är. Det bästa sättet att verkligen förstå dem är att gå igenom några exempel på att använda dem i praktiken, och Gauss lag är det bästa stället att börja. Gauss lag är i huvudsak en mer grundläggande ekvation som gör jobbet enligt Coulombs lag, och det är ganska lätt att hämta Coulombs lag från den genom att ta hänsyn till det elektriska fältet som produceras av en punktladdning.

Att ringa laddningen q
, den viktigaste punkten för att tillämpa Gauss lag är att välja rätt "yta" för att undersöka det elektriska flödet igenom. I detta fall fungerar en sfär bra, som har ytarea A
\u003d 4π_r_ ^{2, eftersom du kan centrera sfären på punktladdningen. Detta är en enorm fördel för att lösa problem som detta eftersom du inte behöver integrera ett varierande fält över ytan; fältet kommer att vara symmetriskt runt punktladdningen, så att det kommer att vara konstant över sfärens yta. Så den integrerade formen:
\\ int \\ bm {E ∙} d \\ bm {A} \u003d \\ frac {q} {ε_0}}

Kan uttryckas som:
E × 4πr ^ 2 \u003d \\ frac {q} {ε_0}

Observera att E
för det elektriska fältet har ersatts med en enkel storlek, eftersom fältet från en punktladdning helt enkelt kommer att spridas lika i alla riktningar från källan. Genom att dela genom sfärens ytarea ger:
E \u003d \\ frac {q} {4πε_0r ^ 2}

Eftersom kraften är relaterad till det elektriska fältet med E
\u003d < em> F
/ q
, där q
är en testavgift, F
\u003d qE
, och så:
F \u003d \\ frac {q_1q_2} {4πε_0r ^ 2}

Där abonnemanget har lagts till för att differentiera de två laddningarna. Detta är Coulombs lag som anges i standardform, visad att vara en enkel följd av Gauss lag.
Exempel på Maxwells ekvationer: Faradays lag

Faradays lag ger dig möjlighet att beräkna elektromotorkraften i en trådögla till följd av ett förändrat magnetfält. Ett enkelt exempel är en trådögla med radie r
\u003d 20 cm, i ett magnetfält som ökar i magnitud från B
_{i \u003d 1 T till B
f \u003d 10 T i utrymmet ∆ t
\u003d 5 s - vad är den inducerade EMF i detta fall? Den integrerade formen av lagen innebär flödet:
\\ int \\ bm {E ∙} d \\ bm {s} \u003d - \\ frac {∂ \\ phi_B} {∂t}}

som definieras som:
ϕ \u003d BA \\ cos (θ)

Den viktigaste delen av problemet här är att hitta hastigheten på fluxförändring, men eftersom problemet är ganska enkelt kan du ersätta det partiella derivatet med en enkel "förändring i" varje kvantitet. Och integralen betyder egentligen bara elektromotorkraften, så att du kan skriva om Faradays induktionslag som:
\\ text {EMF} \u003d - \\ frac {∆BA \\ cos (θ)} {∆t}

Om vi antar att trådslingan har sin normala inriktning med magnetfältet, θ
\u003d 0 ° och så cos ( θ
) \u003d 1. Detta lämnar:
\\ text {EMF} \u003d - \\ frac {∆BA} {∆t}

Problemet kan sedan lösas genom att hitta skillnaden mellan det initiala och det slutliga magnetfältet och slingans område, enligt följande:
\\ börja {inriktad} \\ text {EMF} &\u003d - \\ frac {∆BA} {∆t} \\\\ &\u003d - \\ frac {(B_f - B_i) × πr ^ 2} {∆t} \\\\ &\u003d - \\ frac {(10 \\ text {T} - 1 \\ text {T}) × π × (0,2 \\ text {m}) ^ 2} {5 \\ text {s}} \\\\ &\u003d - 0.23 \\ text {V} \\ slut {inriktat }

Detta är bara en liten spänning, men Faradays lag tillämpas på samma sätt oavsett.
Exempel på Maxwells ekvationer: Ampere-Maxwell-lagen.

Ampere-Maxwell-lagen är den sista av Maxwells ekvationer som du behöver tillämpa regelbundet. Ekvationen återgår till Amperes lag i avsaknad av ett växlande elektriskt fält, så detta är det enklaste exemplet att tänka på. Du kan använda den för att härleda ekvationen för ett magnetfält som härrör från en rak tråd som bär en ström I
, och detta grundläggande exempel räcker för att visa hur ekvationen används. Den fullständiga lagen är:
\\ int \\ bm {B ∙} d \\ bm {s} \u003d μ_0 I + \\ frac {1} {c ^ 2} \\ frac {∂} {∂t} \\ int \\ bm { E ∙} d \\ bm {A}

Men med inget förändrat elektriskt fält minskar det till:
\\ int \\ bm {B ∙} d \\ bm {s} \u003d μ_0 I

Nu, som med Gauss "lag, om du väljer en cirkel för ytan, centrerad på trådslingan, föreslår intuition att det resulterande magnetfältet kommer att vara symmetriskt, och så kan du ersätta integralen med en enkel produkt från loopens omkrets och magnetiska fältstyrka, lämnar:
B × 2πr \u003d μ_0 I

Dela igenom med 2π_r_ ger:
B \u003d \\ frac {μ_0 I} {2πr}

Vilket är det accepterade uttrycket för magnetfältet vid ett avstånd r
till följd av en rak tråd med ström.
Elektromagnetiska vågor

När Maxwell monterade sin uppsättning ekvationer, började han hitta lösningar på dem för att hjälpa till att förklara olika fenomen i verkliga världen, och den insikt som den gav i ljus är ett av de viktigaste resultaten han fick.

B för att ett växlande elektriskt fält genererar ett magnetfält (enligt Amperes lag) och ett växlande magnetfält genererar ett elektriskt fält (enligt Faradays lag), arbetade Maxwell med att en självförökande elektromagnetisk våg kan vara möjlig. Han använde sina ekvationer för att hitta vågekvationen som skulle beskriva en sådan våg och bestämde att den skulle resa med ljusets hastighet. Det här var ett slags "eureka" ögonblick; han insåg att ljus är en form av elektromagnetisk strålning, som fungerar precis som det fält som han föreställde sig! Övrig. Svängningen av den elektriska delen av vågen genererar magnetfältet, och svängningen av denna del ger i sin tur ett elektriskt fält igen, på och vidare när det rör sig genom rymden.

Som alla andra vågor, en elektromagnetisk vågen har en frekvens och en våglängd, och produkten av dessa är alltid lika med c
, ljusets hastighet. Elektromagnetiska vågor finns runt omkring oss och såväl som synligt ljus kallas andra våglängder vanligtvis radiovågor, mikrovågor, infraröd, ultraviolett, röntgenstrålar och gammastrålar. Alla dessa former av elektromagnetisk strålning har samma grundform som förklaras av Maxwells ekvationer, men deras energier varierar med frekvens (dvs. en högre frekvens betyder en högre energi).

Så för en fysiker var det Maxwell som sa, "Låt det vara ljus!"