Algebra innebär ofta förenkling av uttryck, men vissa uttryck är mer förvirrande att hantera än andra. Komplexa siffror involverar den kvantitet som kallas i
, ett "imaginärt" nummer med egenskapen i
\u003d √ − 1. Om du helt enkelt måste ha ett uttryck som innehåller ett komplext nummer kan det tyckas skrämmande, men det är en ganska enkel process när du lär dig de grundläggande reglerna.

TL; DR (för lång; läste inte)

Förenkla komplexa siffror genom att följa reglerna för algebra med komplexa siffror.
Vad är ett komplext nummer?

Komplexa nummer definieras genom att de inkluderar i
termen, vilket är kvadratroten av minus en. I matematik på grundnivå existerar egentligen inte kvadratrötter med negativa nummer, men de visas ibland i algebraproblem. Den allmänna formen för ett komplext nummer visar deras struktur:

z

\u003d a
+ bi

Där z och markerar det komplexa numret, a
representerar valfritt nummer (kallas den "riktiga" delen) och b
representerar ett annat nummer (kallas "imaginära" ”Del), som båda kan vara positiva eller negativa. Så ett exempel på komplexa nummer är:

z

\u003d 2 −4_i_

Eftersom alla kvadratrötter med negativa tal kan representeras av multiplar av < em> i
, detta är formuläret för alla komplexa siffror. Tekniskt beskriver ett vanligt nummer bara ett speciellt fall av ett komplext nummer där b
\u003d 0, så alla nummer kan betraktas som komplexa.
Grundregler för algebra med komplexa siffror

Till lägga till och subtrahera komplexa siffror, helt enkelt lägga till eller subtrahera de verkliga och imaginära delarna separat. Så för komplexa nummer z
\u003d 2 - 4_i_ och w
\u003d 3 + 5_i_, är summan:

z

+ w
\u003d (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)

\u003d (2 + 3) + (−4 + 5) i

\u003d 5 + 1_i_ \u003d 5 + i

Att subtrahera siffrorna fungerar på samma sätt:

z

- w
\u003d (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)

\u003d (2 - 3) + (−4 - 5) i

\u003d −1 - 9_i_

Multiplikation är en annan enkel operation med komplexa siffror, eftersom det fungerar som vanlig multiplikation förutom att du måste komma ihåg att i
^{2 \u003d −1. Så för att beräkna 3_i_ × −4_i_:}

3_i_ × −4_i_ \u003d −12_i_ ²

Men sedan i
^{2 \u003d −1, då:}

−12_i_ ^{2 \u003d −12 × −1 \u003d 12}

Med fullständiga komplexa siffror (med z
\u003d 2 - 4_i_ och w
\u003d 3 + 5_i_ igen), du multiplicerar dem på samma sätt som du skulle göra med vanliga siffror som ( a
+ b
) ( c
+ d
), med hjälp av metoden "första, inre, yttre, sista" (FOIL), för att ge ( a
+ b
) ( c
+ d
) \u003d ac
+ bc
+ annons
+ bd
. Allt du behöver komma ihåg är att förenkla förekomsten av i
^{2. Så till exempel:}

z

× w
\u003d (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)

\u003d ( 2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)

\u003d 6 −12_i_ + 10_i_ - 20_i_ ²

\u003d 6 −2_i_ + 20 \u003d 26 + 2_i_
Delning av komplexa siffror

Att dela komplexa siffror innebär att multiplicera telleren och nämnaren för fraktionen med nämnda komplexa konjugat. Det komplexa konjugatet betyder bara versionen av det komplexa numret med den imaginära delen omvänd. Så för z
\u003d 2 - 4_i_, det komplexa konjugatet z
\u003d 2 + 4_i_, och för w
\u003d 3 + 5_i_, w

\u003d 3 −5_i_. För problemet:

z

/ w
\u003d (2 - 4_i_) /(3 + 5_i_)

konjugat som behövs är w
*. Dela upp telleren och nämnaren genom att ge:

z

/ w
\u003d (2 - 4_i_) (3 −5_i_) /( 3 + 5_i _) (3 - 5_i_)

Och sedan arbetar du igenom som i föregående avsnitt. Säljaren ger:

(2 - 4_i_) (3 −5_i_) \u003d 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_ ²

\u003d −14 - 22_i_

Och nämnaren ger:

(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) \u003d 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_ ²

\u003d 9 + 25 \u003d 34

Detta betyder:

z

/ w
\u003d (−14 - 22_i_) /34

\u003d −14/34 - 22_i_ /34

\u003d −7/17 - 11_i_ /17
Förenkla komplexa siffror

Använd reglerna ovan vid behov för att förenkla komplexa uttryck. Till exempel:

z

\u003d ((4 + 2_i_) + (2 - i
)) ÷ ((2 + 2_i _) ( 2+ i
))

Detta kan förenklas genom att använda tilläggsregeln i telleren, multiplikationsregeln i nämnaren och sedan slutföra uppdelningen. För täljaren:

(4 + 2_i_) + (2 - i
) \u003d 6 + i

För nämnaren:

(2 + 2_i _) (2+ i
) \u003d 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_ ²

\u003d (4 - 2) + 6_i_

\u003d 2 + 6_i_

Att sätta tillbaka dessa på plats ger:

z

\u003d (6 + i
) /(2 + 6_i_)

Att multiplicera båda delarna med nämnarens konjugat leder till:

z

\u003d (6 + i
) (2 - 6_i_) /(2 + 6_i_) (2 - 6_i_)

\u003d (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_ ^{2) /(4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_ < sup> 2)}

\u003d (18 - 34_i_) /40

\u003d (9 - 17_i_) /20

\u003d 9/20 −17_i_ /20

Så detta betyder z och förenklar enligt följande:

z

\u003d ((4 + 2_i_) + (2 - i
)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ i
)) \u003d 9/20 −17_i_ /20