De flesta kommer ihåg Pythagorean-teoremet från nybörjargeometri - det är en klassiker. Det är a
^{2 + b
2 \u003d c
2, där a
, b
och c
är sidorna på en höger triangel ( c
är hypotenusen). Det här teoremet kan också skrivas om för trigonometri!}

TL; DR (för långt; läste inte) |

TL; DR (för långt; läste inte)

Pytagoreiska identiteter är ekvationer som skriver Pythagoreiska teorem i termer av triggfunktionerna.

De huvudsakliga Pythagoreiska identiteterna är:

sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) \u003d 1}

1 + tan ^{2 ( θ
) \u003d sec 2 ( θ
)}

1 + barnsäng ^{2 ( θ
) \u003d csc 2 ( θ
)}

Pythagorean identiteter är exempel på trigonometriska identiteter: likheter (ekvationer) som använder trigonometriska funktioner.
Varför är det viktigt?

De Pythagoreiska identiteterna kan vara mycket användbara för att förenkla komplicerade trig-uttalanden och ekvationer. Memorera dem nu, och du kan spara dig mycket tid på vägen!
Bevis med definitionerna av trig-funktionerna.

Dessa identiteter är ganska enkla att bevisa om du tänker på definitionerna av trig-funktionerna. funktioner. Låt oss till exempel bevisa att sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) \u003d 1.}

Kom ihåg att definitionen av sinus är motsatt sida /hypotenuse, och att kosinus är angränsande sida /hypotenuse.

Så sin ^{2 \u003d motsatt 2 /hypotenuse 2}

Och cos ^{2 \u003d intill 2 /hypotenuse 2}

Du kan enkelt lägga till dessa två eftersom nämnarna är desamma.

sin ^{2 + cos 2 \u003d (mittemot 2 + intill 2) /hypotenuse 2}

Nu titta vid Pythagorean Theorem. Det säger att a
<sup>2 + b
2 \u003d c
2. Tänk på att a
och b
står för motsatta och intilliggande sidor, och c
står för hypotenusen.</sup>

Du kan ordna om ekvation genom att dela båda sidor med c
^2:

a
^{2 + b
2 \u003d c
2}

( a
^{2 + b
2) / c
2 \u003d 1}

Eftersom a
^{2 och b
2 är motsatta och intilliggande sidor och c
2 är hypotenusen, du har ett motsvarande uttalande till det ovan, med (mittemot 2 + intill 2) /hypotenuse 2. Och tack vare arbetet med a
, b
, c
och Pythagoras teorem, kan du nu se detta uttalande lika med 1!}

Så (mittemot ^{2+ intill 2) /hypotenuse 2 \u003d 1,}

och därför: sin ^{2 + cos 2 \u003d 1.}

(Och det är bättre att skriva ut det ordentligt: sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) \u003d 1).
De ömsesidiga identiteterna}

Låt oss spendera några minuter på att titta på de ömsesidiga identiteterna också. Kom ihåg att det ömsesidiga är ett dividerat med ("över") ditt nummer - även känt som det omvända.

Eftersom cosecant är det ömsesidiga av sinus, csc ( θ
) \u003d 1 /sin ( θ
).

Du kan också tänka på kosekant med definitionen av sinus. Till exempel sinus \u003d motsatt sida /hypotenus. Det inversa av det är den bråkdel som vänds upp och ner, som är hypotenus /motsatt sida. cos ( θ
), eller hypotenuse /intilliggande sida.

Och tangentens ömsesidiga är cotangent, så barnsäng ( θ
) \u003d 1 /solbränna ( θ
), eller barnsäng \u003d intilliggande sida /motsatt sida.

Korrektionen för de Pythagoreiska identiteterna med hjälp av sekant och kosekant är mycket lik den för sinus och kosinus. Du kan också härleda ekvationerna med "förälder" -ekvationen, sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) \u003d 1. Dela båda sidor med cos 2 ( θ
) för att få identiteten 1 + solbränna 2 ( θ
) \u003d sek 2 ( θ
). Dela båda sidor med sin 2 ( θ
) för att få identiteten 1 + barnsäng 2 ( θ
) \u003d csc 2 ( θ
).}

Lycka till och se till att memorera de tre Pythagoreiska identiteterna!