Trigonometri kan känns som ett ganska abstrakt ämne. "cos" verkar bara inte motsvara någonting i verkligheten, och det är svårt att få tag på dem som begrepp. Enhetscirkeln hjälper dig väsentligt med detta och erbjuder en enkel förklaring av vilka siffror du får när du tar sinus, kosinus eller tangens i en vinkel. För alla vetenskaps- och matteelever kan förstå enhetscirkeln verkligen cementera din förståelse för trigonometri och hur du använder funktionerna.

TL; DR (för lång; läste inte)

En enhetscirkel har en radie av en. Föreställ dig ett xy-koordinatsystem som börjar i mitten av denna cirkel. Punktvinklarna mäts från där x
\u003d 1 och y
\u003d 0, på höger sida av cirkeln. Vinklar ökar när du rör moturs.

Med hjälp av detta ramverk, och y
för y
-koordinaten och x
för x
-koordinat av punkten på cirkeln:

sin θ
\u003d y

cos θ
\u003d x

Och följaktligen:

solbränna θ
\u003d y
/ x

Vad är enhetscirkeln?

En ”enhet” -cirkel har en radie på 1. Med andra ord är avståndet från cirkelns centrum till någon del av kanten alltid 1. Mätningsenheten gör inte Det spelar egentligen ingen roll, för det viktigaste med enhetscirkeln är att det gör många ekvationer och beräkningar mycket enklare.

Det fungerar också som en användbar grund för att titta på definitionerna av vinklar. Föreställ dig att cirkelns mitt ligger i mitten av ett koordinatsystem med en x
-ax som går horisontellt och en y och -ax som går vertikalt. Cirkeln korsar x
-axen vid x
\u003d 1, y
\u003d 0. Forskare och matematiker definierar vinkeln från den punkten som rör sig moturs. . Så punkten x
\u003d 1, y
\u003d 0 på cirkeln är i en vinkel på 0 °. Definitionerna av Sin och Cos med enhetscirkeln

De vanliga definitionerna av synd, kos och solbränna som ges till studenter avser trianglar. De säger:

sin θ
\u003d motsatt /hypotenuse

cos θ
\u003d intilliggande /hypotenuse

tan θ
\u003d sin θ
/cos θ

Den "motsatta" avser längden på sidan av triangeln mitt emot vinkeln, "intilliggande" avser längden på sidan bredvid vinkeln och "hypotenuse" hänvisar till längden på den diagonala sidan av triangeln.

Föreställ dig att skapa en triangel så att hypotenusen alltid var radien för enhetscirkeln, med en hörnet i cirkelns kant och ett i mitten. Detta innebär att hypotenuse \u003d 1 i ekvationerna ovan, så de två första blir:

sin θ
\u003d motsatt /1 \u003d motsatt

cos θ
\u003d intilliggande /1 \u003d intilliggande

Om du gör vinkeln i fråga till den i mitten av cirkeln, är motsatsen bara y
-koordinaten och den intilliggande är bara < em> x
-koordinat av punkten på cirkeln som vidrör triangeln. Med andra ord returnerar sin y
-koordinaten på enhetscirkeln (med koordinater som börjar i mitten) för en given vinkel och cos returnerar x
-koordinaten. Det är därför cos (0) \u003d 1 och sin (0) \u003d 0, eftersom det här är koordinaterna. Likaså är cos (90) \u003d 0 och sin (90) \u003d 1, eftersom detta är poängen med x
\u003d 0 och y
\u003d 1. I ekvationsform:

sin θ
\u003d y

cos θ
\u003d x

Negativa vinklar är också lätt att förstå på grundval av detta. De negativa vinklarna (uppmätt medurs från startpunkten) har samma x
-koordinat som motsvarande positiva vinkel, så:

cos - θ

\u003d cos θ

y
-koordinaten växlar emellertid, vilket innebär att

sin - θ

\u003d −sin θ

Definitionen av solbränna med enhetscirkeln <<> Definitionen av solbränna som ges ovan är:

solbränna θ
\u003d sin θ
/cos θ

Men med enhetscirklens definitioner av synd och cos kan du se att detta motsvarar:

tan θ
\u003d motsatt /intilliggande

Eller tänker i termer av koordinater:

tan θ
\u003d y
/ x

Detta förklarar varför solbränna är odefinierad för 90 ° eller −270 ° och 270 ° eller −90 ° (där x
\u003d 0), eftersom du kan delas inte med noll.
Grafik trigonometriska funktioner

Grafning av sin eller cos blir lättare när du tänker på enhetscirkeln. x
-koordinatet varierar smidigt när du rör dig runt cirkeln, börjar vid 1 och minskar till ett minimum av −1 vid 180 ° och sedan ökar på samma sätt. Sinfunktionen gör samma sak, men den ökar till ett maximivärde av 1 vid 90 ° först innan man följer samma mönster. De två funktionerna sägs vara 90 ° ur "fas" med varandra.

Grafisk tan kräver att y
delas med x
, och det är mer komplicerat att graf, och har också punkter där det är odefinierat.