Cirklar är överallt i den verkliga världen, varför deras radier, diametrar och omkrets är viktiga i verkliga applikationer. Men det finns till exempel andra delar av cirklar - sektorer och vinklar - som också har betydelse för vardagliga applikationer. Exempel är sektorsstorlekar av cirkulär mat som kakor och pajer, vinkeln reste i ett pariserhjul, dimensionering av ett däck till ett visst fordon och speciellt storleken på en ring för ett engagemang eller bröllop. Av dessa skäl och mer har geometri också ekvationer och problemberäkningar som handlar om centrala vinklar, bågar och sektorer i en cirkel.

Vad är den centrala vinkeln?

Den centrala vinkeln definieras som vinkel skapad av två strålar eller strålar som utstrålar från mitten av en cirkel, med cirkelns centrum som vinkeln på den centrala vinkeln. Centrala vinklar är särskilt relevanta när det gäller att jämnt fördela pizza eller någon annan cirkulärbaserad mat bland ett visst antal personer. Säg att det finns fem personer på en soiree där en stor pizza och en stor kaka ska delas. Vad är den vinkel som både pizza och kakan måste delas upp för att garantera en jämn skiva för alla? Eftersom 360 grader är i en cirkel blir beräkningen 360 grader dividerad med 5 för att komma fram till 72 grader, så att varje skiva, oavsett om det är pizza eller kakan, kommer att ha en central vinkel eller teta (θ), som mäter 72 grader.

Bestämning av den centrala vinkeln från arklängden

En cirkelbåg refererar till en "del" av cirkelns omkrets. Båglängden är därför längden på den "delen". Om du föreställer dig en pizza skiva, kan sektionsområdet visualiseras som hela skivan pizza, men båge längden är längden på skorpans yttre kant för den speciella skiva. Från ljusbågens längd kan den centrala vinkeln beräknas. En formel som kan hjälpa till att bestämma den centrala vinkeln anger att båtlängden är lika med radie gånger den centrala vinkeln, eller s = r × θ, där vinkeln, theta, måste mätas i radianer. Så att lösa för den centrala vinkeln, theta, behöver man bara dela båglängden med radien, eller s ÷ r = θ. För att illustrera, om ljusbågens längd är 5,9 och radien är 3,5329, blir den centrala vinkeln 1,67 radianer. Ett annat exempel är om ljusbågens längd är 2 och radien är 2, den centrala vinkeln blir 1 radian. Om du vill konvertera radianer till grader, kom ihåg att 1 radian är lika med 180 grader dividerat med π eller 57.2958 grader. Omvänt, om en ekvation begär att omvandla grader tillbaka till radianer, först multiplicera med π, och dividerar sedan med 180 grader.

Bestämning av den centrala vinkeln från sektorsområdet

En annan användbar formel för att bestämma central vinkel tillhandahålls av sektorsområdet, som återigen kan visualiseras som en skiva pizza. Denna speciella formel kan ses på två sätt. Den första har den centrala vinkeln uppmätt i grader så att sektionsområdet är lika med π gånger radikalkvadratet och multipliceras sedan med mängden av den centrala vinkeln i grader dividerad med 360 grader. Med andra ord:

(πr ^{2) × (centralvinkel i grader ÷ 360 grader) = sektorområde.}

Om den centrala vinkeln mäts i radianer blir formeln istället :

sektorområde = r ^{2 × (centralvinkel i radianer ÷ 2).}

Omformning av formlerna hjälper till att lösa värdet på den centrala vinkeln eller theta. Tänk på ett sektionsområde på 52,3 kvadratcentimeter med en radie av 10 centimeter. Vad skulle dess centrala vinkel vara i grader? Beräkningarna skulle börja med en sektionsarea av 52,3 kvadratcentimeter som är lika med:

(θ ÷ 360 grader) × πr ^2.

Eftersom radien (r) är lika med 10, hela ekvationen kan skrivas som:

(52,3 ÷ 100π) × 360

så att theta kan skrivas som:

(52,3 ÷ 314) × 360.

Således blir det sista svaret en central vinkel på 60 grader.