Det bästa sättet att faktorisera polynomier med fraktioner börjar med att reducera fraktionerna till enklare termer. Polynomier representerar algebraiska uttryck med två eller flera termer, mer specifikt summan av flera termer som har olika uttryck för samma variabel. Strategier som hjälper till att förenkla polynomier involverar utredning av den största gemensamma faktorn, följt av gruppering av ekvationen i dess lägsta termer. Detsamma gäller även när man löser polynomier med fraktioner.
Polynomier med fraktioner definierade

Du har tre sätt att visa frasen polynomier med bråk. Den första tolkningen behandlar polynomer med fraktioner för koefficienter. I algebra definieras koefficienten som antal eller konstant som finns före en variabel. Med andra ord är koefficienterna för 7a, b och (1/3) c 7, 1 respektive (1/3). Två exempel på polynom med fraktionskoefficienter skulle därför vara:

(1/4) x ^{2 + 6x + 20 samt x 2 + (3/4) x + ( 1/8).}

Den andra tolkningen av "polynom med fraktioner" hänvisar till polynom som finns i fraktion eller förhållande med en teller och en nämnare, där tävlingspolynomet delas med nämnarens polynom. Till exempel illustreras den andra tolkningen av:

(x ^{2 + 7x + 10) ÷ (x 2 + 11x + 18)}

Den tredje tolkningen, under tiden , hänför sig till partiell fraktionsnedbrytning, även känd som partiell fraktionsutvidgning. Ibland är polynomfraktioner komplexa så att när de "sönderdelas" eller "delas upp" i enklare termer, presenteras de som summor, skillnader, produkter eller kvoter av polynomfraktioner. För att illustrera utvärderas den komplexa polynomfraktionen av (8x + 7) ÷ (x ^{2 + x - 2) genom partiell fraktionssönderdelning, som för övrigt involverar faktorisering av polynomier, för att vara [3 /(x + 2 )] + [5 /(x-1)] i enklaste form. I algebraiska ekvationer bestämmer factoring vilka två kvantiteter som multiplicerades tillsammans för att komma fram till en given polynom. Distributionsegenskapen följs starkt vid multiplikation av polynomier. Distribueringsegenskapen tillåter i huvudsak att multiplicera en summa genom att multiplicera varje nummer individuellt innan produkterna läggs till. Observera till exempel hur fördelningsegenskapen tillämpas i exemplet av:}

7 (10x + 5) för att komma fram till binomialen på 70x + 35.

Men om två binomialer är multipliceras tillsammans sedan används en utökad version av den distribuerande egenskapen via FOIL-metoden. FOIL representerar förkortningen för först, yttre, inre och sista termer som multipliceras. Följaktligen innebär faktorer av polynomer att utföra FOIL-metoden bakåt. Ta de två ovannämnda exemplen med polynomema som innehåller fraktionskoefficienter. Att utföra FOIL-metoden bakåt på var och en av dem resulterar i faktorerna:

((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10) för det första polynomet och faktorerna:

(x + (1/4)) (x + (1/2)) för det andra polynomet.

Exempel: (1/4) x ^{2 + 6x + 20 \u003d ((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10)}

Exempel: x ^{2 + (3/4) x + (1/8) \u003d (x + (1/4)) (x + (1/2))
Åtgärder vid faktorering av polynomfraktioner}

Från ovan involverar polynomfraktioner ett polynom i telleren dividerat med ett polynom i nämnaren . Utvärdering av polynomfraktioner kräver sålunda att faktorisering av polynom från numerator först följs av faktorering av nämnarens polynom. Det hjälper till att hitta den största gemensamma faktorn, eller GCF, mellan telleren och nämnaren. När GCF för både telleren och nämnaren har hittats, avbryter den och slutligen reducerar hela ekvationen till förenklade termer. Tänk på det ursprungliga exemplet på polynomfraktionen ovan på

(x ^{2 + 7x + 10) ÷ (x 2+ 11x + 18). för att hitta GCF-resultat i:}

[(x + 2) (x + 5)] ÷ [(x + 2) (x + 9)], där GCF är (x + 2).

GCF i både telleren och nämnaren avbryter varandra för att ge det slutliga svaret i de lägsta termerna av (x + 5) ÷ (x + 9).

Exempel:

x ^{2 + 7x + 10 (x + 2)
(x + 5) (x + 5)}

_
_
\u003d
_
_
_ \u003d _
_

x ^{2+ 11x + 18 (x + 2)
(x + 9) (x + 9)
Utvärdering av ekvationer via partiell fraktion sönderdelning |}

Delvis bråkdelning, som involverar factoring, är ett sätt att skriva om komplex polynomfraktionsekvationer i enklare form. Översyn av exemplet ovan från

(8x + 7) ÷ (x ^{2 + x - 2).
Förenkla nämnaren |}

Förenkla nämnaren för att få: (8x + 7) ÷ [(x + 2) (x - 1)].

8x + 7 8x + 7

_
_
< em> \u003d
_
_

x ^{2 + x - 2 (x + 2) (x - 1)
Ordna om Numerator}

Därefter ordnar du räknaren så att den börjar ha GCF: erna i nämnaren för att få:

(3x + 5x - 3 + 10) ÷ [(x + 2) (x - 1)], som expanderas ytterligare till {(3x - 3) ÷ [(x + 2) (x - 1)]} + {(5x + 10) ÷ [(x + 2) (x - 1) )]}.

8x + 7 3x + 5x - 3 + 10 3x - 3 5x + 10

_
_
_
_ \u003d _
_
_
\u003d _
_
____ +

( x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1)

För vänstra tillägg, GCF är (x - 1), medan för höger tillägg är GCF (x + 2), som avbryter i telleren och nämnaren, sett i {[(3 (x - 1)) ÷ ((x + (x - 1) (x + 2))]}.

3x - 3 5x + 10 3 (x - 1) och 5 (x + 2)

_
_
_ +
_
_
\u003d
< em> _
_
_ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) ( x - 1)
(x + 2)
(x - 1)

Således, när GCF: erna avbryter, är det slutliga förenklade svaret [3 ÷ (x + 2)] + [5 ÷ (x - 1)]:

3 5

_
_
+ _
_ som lösning av den partiella fraktionens sönderdelning.

x + 2 x - 1