I matematik är en funktion en regel som relaterar varje element i en uppsättning, kallad domänen, till exakt ett element i en annan uppsättning, kallad intervallet. På en x-y-axel representeras domänen på x-axeln (horisontell axel) och domänen på y-axeln (vertikal axel). En regel som relaterar ett element i domänen till mer än ett element i intervallet är inte en funktion. Detta krav innebär att om du grafer en funktion inte kan du hitta en vertikal linje som korsar diagrammet på mer än ett ställe.

TL; DR (för lång; läste inte)

En relation är en funktion endast om det relaterar varje element i sin domän till endast ett element i intervallet. När du grafer en funktion kommer en vertikal linje att korsa den på bara en punkt. . Du läser bokstäverna som "f av x." Om du väljer att representera funktionen som g (y), skulle du läsa den som "g av y." Ekvationen för funktionen definierar regeln med vilken ingångsvärdet x omvandlas till ett annat nummer. Det finns ett oändligt antal sätt att göra detta. Här är tre exempel:

f (x) \u003d 2x

g (y) \u003d y ^{2 + 2y + 1}

p (m) \u003d 1 /√ (m - 3)
Bestämning av domän |

Uppsättningen av nummer för vilka funktionen "fungerar" är domänen. Detta kan vara alla siffror, eller det kan vara en specifik uppsättning siffror. Domänen kan också vara alla nummer utom ett eller två för vilket funktionen inte fungerar. Till exempel är domänen för funktionen f (x) \u003d 1 /(2-x) alla siffror utom 2, eftersom när du matar in två är nämnaren 0 och resultatet är odefinierat. Domänen för 1 /(4 - x ^{2) är å andra sidan alla siffror utom +2 och -2 eftersom kvadratet för båda dessa nummer är 4.}

Du kan också identifiera domänen för en funktion genom att titta på dess graf. Börjar längst till vänster och rör dig till höger, och dra vertikala linjer genom x-axeln. Domänen är alla värden på x för vilken linjen korsar grafen.
När är en relation inte en funktion?

Per definition relaterar en funktion varje element i domänen till endast ett element i räckvidd. Detta innebär att varje vertikal linje du drar genom x-axeln kan korsa funktionen på bara en punkt. Detta fungerar för alla linjära ekvationer och ekvationer med högre effekt där endast x-termen höjs till en exponent. Det fungerar inte alltid för ekvationer där både x- och y-termerna höjs till en kraft. Exempelvis definierar x ^{2 + y 2 \u003d a 2 en cirkel. En vertikal linje kan korsa en cirkel på mer än en punkt, så denna ekvation är inte en funktion.}

I allmänhet är en relation f (x) \u003d y en funktion endast om, för varje värde på x som du ansluter till det, du får bara ett värde för y. Ibland är det enda sättet att berätta om en given relation är en funktion eller inte, att prova olika värden för x för att se om de ger unika värden för y.

Exempel: Definierar följande ekvationer funktioner?

y \u003d 2x +1 Detta är ekvationen för en rak linje med lutning 2 och y-skärningspunkt 1, så det är en funktion.

y2 \u003d x + 1 Låt x \u003d 3. Värdet för y kan då vara ± 2, så detta är INTE en funktion.

y ^{3 \u003d x 2 Oavsett vilket värde vi ställer in för x får vi bara ett värde för y, så detta är en funktion.}

y ^{2 \u003d x 2 Eftersom y \u003d ± √x 2 är detta INTE en funktion.}