I matematik är ett ömsesidigt värde för ett tal det nummer som, multiplicerat med det ursprungliga talet, producerar 1. Exempelvis är det ömsesidiga för variabeln 1 /x, eftersom x • 1 /x \u003d x /x \u003d 1. I detta exempel är 1 /x den ömsesidiga identiteten till x, och vice versa. Vid trigonometri kan någon av de icke-90-graders vinklarna i en rätt triangel definieras med förhållanden som kallas sinus, kosinus och tangens. Tillämpar begreppet ömsesidig identitet, definierar matematiker tre ytterligare förhållanden. Deras namn är cosecant, secant och cotangent. Cosecant är den ömsesidiga identiteten hos sinus, säkra den för kosinus och kotangent som tangenten.
Hur man bestämmer ömsesidiga identiteter |
Tänk på en vinkel θ, som är en av de två vinklar som inte är 90 grader i en rätt triangel. Om längden på sidan av triangeln mittemot vinkeln är "b", längden på sidan intill vinkeln och mittemot hypotenusen är "a" och längden på hypotenusen är "r", kan vi definiera de tre primära trigonometriska förhållanden i termer av dessa längder.
Den ömsesidiga identiteten på synd θ måste vara lika med 1 /sin θ, eftersom det är antalet som multipliceras med synd θ, producerar 1. Samma gäller för cos θ och solbränna θ. Matematiker ger dessa ömsesidiga namn namnen kosecant, secant respektive cotangent. Per definition:
Du kan definiera dessa ömsesidiga identiteter i termer av längderna på sidorna i den högra triangeln på följande sätt:
< li> csc θ \u003d r /b
Följande förhållanden gäller för alla vinklar θ:
Om du känner till sinus och kosinus i en vinkel, kan du härleda tangenten. Detta är sant eftersom sin θ \u003d b /r och cos θ \u003d a /r, så sin θ /cos θ \u003d (b /r • r /a) \u003d b /a. Eftersom detta är definitionen av tan θ följer följande identitet, känd som kvotidentiteten:
Den Pythagoreiska identiteten följer av det faktum att för varje rätt triangel med sidorna a och b och hypotenuse r är följande sant: a 2 + b 2 \u003d r 2. Om du ordnar om termer och definierar förhållanden i termer av sinus och kosinus kommer du till följande uttryck: sin 2 θ + cos 2 θ \u003d 1 Två andra viktiga relationer följ när du sätter in ömsesidiga identiteter för sinus och kosinus i ovanstående uttryck:
