Föreställ dig att du bemannar en kanon, syftar till att krossa murarna i en fiendens slott så att din armé kan storma in och kräva seger. Om du vet hur snabbt bollen rör sig när den lämnar kanonen, och du vet hur långt borta väggarna är, vilken lanseringsvinkel behöver du för att skjuta kanonen för att framgångsrikt träffa väggarna?

exempel på ett projektil rörelseproblem, och du kan lösa detta och många liknande problem med hjälp av konstanta accelerationsekvationerna för kinematik och några grundläggande algebra.

Projektilrörelse - är hur fysiker beskriver tvådimensionell rörelse där den enda accelerationen det aktuella objektet upplever är den konstant nedåt accelerationen på grund av tyngdkraften.

På jordens yta är den konstanta accelerationen a
lika med g
\u003d 9,8 m /s ^{2, och ett objekt som genomgår projektilrörelse är i fritt fall med detta som den enda accelerationskällan. I de flesta fall tar den en parabolas väg, så rörelsen kommer att ha både en horisontell och vertikal komponent. Även om det skulle ha en (begränsad) effekt i verkliga livet ignorerar tack och lov de flesta projektilrörelseproblemen med projektilrörelse. Luftmotståndets effekt. > och annan grundläggande information om den aktuella situationen, till exempel den initiala hastigheten för projektilen och den riktning i vilken den rör sig. Att lära sig att lösa dessa problem är viktigt för att klara de flesta introduktionsfysikklasser, och det introducerar dig de viktigaste begreppen och teknikerna du behöver i senare kurser.
Projectile Motion Equations}

Ekvationerna för projektilen rörelse är de konstanta accelerationsekvationerna från kinematik, eftersom tyngdkraften är den enda accelerationskällan som du måste tänka på. De fyra huvudekvationerna som du behöver för att lösa alla projektilrörelseproblem är:
v \u003d v_0 + at \\\\ s \u003d \\ bigg (\\ frac {v + v_0} {2} \\ bigg) t \\\\ s \u003d v_0t + \\ frac {1} {2} vid ^ 2 \\\\ v ^ 2 \u003d v_0 ^ 2 + 2as

Här står v
för hastighet, v
_{0 är den initiala hastigheten, a
är acceleration (vilket är lika med den nedåtgående accelerationen för g
i alla projektilrörelseproblem), s
är förskjutningen (från startposition) och som alltid har du tid, t
.}

Dessa ekvationer är tekniskt bara för en dimension, och de kan verkligen representeras av vektorkvantiteter (inklusive hastighet v
, initial hastighet v
_{0 och så vidare), men i praktiken kan du bara använda dessa versioner separat, en gång i x
-riktningen och en gång i y
-riktning (och om du någonsin haft ett tredimensionellt problem, i z
-riktningen också.)}

Det är viktigt att komma ihåg att dessa endast används för konstant korrekt för att beskriva situationer där tyngdkraftsinflytandet är den enda accelerationen, men olämplig för många verkliga situationer där ytterligare krafter måste beaktas.

För grundläggande situationer är det allt du behöver för att beskriva rörelse av ett objekt, men om det behövs kan du integrera andra faktorer, till exempel höjden från vilken projektilen lanserades eller till och med lösa dem för projektilens högsta punkt på sin väg.
Lösa Projektilrörelseproblem

Nu när du har sett de fyra versionerna av projektilrörelseformeln som du behöver använda för att lösa problem kan du börja tänka på strategin du använder för att lösa ett projektilrörelseproblem.

Den grundläggande metoden är att dela upp problemet i två delar: en för den horisontella rörelsen och en för den vertikala rörelsen. Detta kallas tekniskt den horisontella komponenten och den vertikala komponenten, och var och en har en motsvarande uppsättning mängder, såsom horisontell hastighet, vertikal hastighet, horisontell förskjutning, vertikal förskjutning och så vidare.

Med detta tillvägagångssätt kan du använd kinematikekvationerna och notera att tiden t
är densamma för både horisontella och vertikala komponenter, men saker som den initiala hastigheten har olika komponenter för den initiala vertikala hastigheten och den initiala horisontella hastigheten.

Det avgörande att förstå är att för tvådimensionell rörelse kan vilken som helst rörelsevinkel delas upp i en horisontell komponent och en vertikal komponent, men när du gör det kommer det att finnas en horisontell version av ekvationen i fråga och en vertikal version.

Att försumma effekterna av luftmotstånd förenklar massivt projektilrörelseproblem eftersom den horisontella riktningen aldrig har någon acceleration i en projektilrörelse (fri fall) problem, eftersom påverkan av tyngdkraften bara verkar vertikalt (dvs. mot jordens yta).

Detta innebär att den horisontella hastighetskomponenten bara är en konstant hastighet och rörelsen stannar endast när tyngdkraften ger projektilen ner till marknivå. Detta kan användas för att bestämma flygtiden, eftersom det är helt beroende av y
-riktningsrörelsen och kan bearbetas helt baserat på den vertikala förskjutningen (dvs. tiden t
när den vertikala förskjutningen är noll berättar tiden för flyget).

[infoga diagram och exempel]
Trigonometri i projektilrörelseproblem

Om problemet i fråga ger dig en startvinkel och en initial hastighet måste du använda trigonometri för att hitta de horisontella och vertikala hastighetskomponenterna. När du har gjort det kan du använda metoderna som beskrivs i föregående avsnitt för att faktiskt lösa problemet.

I grund och botten skapar du en rätvinklad triangel med hypotenusen lutad vid startvinkeln ( θ
) och storleken på hastigheten som längd, och sedan är den intilliggande sidan den horisontella komponenten av hastigheten och motsatt sida är den vertikala hastigheten.

Rita den rätvinklade triangeln som riktad , och du ser att du hittar de horisontella och vertikala komponenterna med hjälp av de trigonometriska identiteterna:
\\ text {cos} \\; θ \u003d \\ frac {\\ text {angränsande}} {\\ text {hypotenuse}} \\ text {sin} \\; θ \u003d \\ frac {\\ text {motsatt}} {\\ text {hypotenuse}}

Så dessa kan ordnas om (och med motsatt \u003d v
y och intill \u003d v
_{x, dvs den vertikala hastighetskomponenten respektive de horisontella hastighetskomponenterna, och hypotenus \u003d v
0, den initiala hastigheten) för att ge:
v_x \u003d v_0 cos (θ) \\\\ v_y \u003d v_0 sin (θ)}

[infoga diagram]

Detta är all den trigonometri du behöver göra för att ta itu med projektilrörelseproblem: ansluta startvinkeln i ekvation, använda sinus- och kosinusfunktionerna på din räknare och multiplicera resultatet med den initiala hastigheten för projektilen.

Så för att gå igenom ett exempel på att göra detta, med en initialhastighet på 20 m /s och en startvinkel på 60 grader, komponenterna är:
\\ börja {inriktad} v_x &\u003d 20 \\; \\ text {m /s} × \\ cos (60) \\\\ &\u003d 10 \\; \\ text {m /s } \\\\ v_y &\u003d 20 \\; \\ text {m /s} × \\ sin (60) \\\\ &\u003d 17.32 \\; \\ text {m /s} \\ end {inriktad} Exempel Projektilrörelse Problem: Ett exploderande fyrverkeri

Föreställ dig ie ett fyrverkeri har en säkring utformad så att den exploderar vid den högsta punkten i dess bana, och den lanseras med en initial hastighet på 60 m /s i en vinkel på 70 grader mot horisontalen.

Hur skulle du räkna ut vilken höjd h och det exploderar på? Och vad skulle tiden från lanseringen vara när den exploderar?

Detta är ett av många problem som involverar den maximala höjden på en projektil, och trikset att lösa dessa är att notera att vid den maximala höjden, < em> y
-komponenten av hastigheten är 0 m /s för ett ögonblick. Genom att ansluta detta värde för v
_{y och välja det lämpligaste av de kinematiska ekvationerna kan du enkelt ta itu med detta och alla liknande problem.}

Först att titta på de kinematiska ekvationerna , denna hoppar ut (med subskript läggs till för att visa att vi arbetar i vertikal riktning):
v_y ^ 2 \u003d v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y

Denna ekvation är idealisk eftersom du redan känner till accelerationen ( a
_{y \u003d - g
), den initiala hastigheten och startvinkeln (så att du kan räkna ut den vertikala komponenten v
y0) . Eftersom vi letar efter värdet på s
y (dvs. höjden h
) när v
y \u003d 0, kan vi ersätt noll för den slutliga vertikala hastighetskomponenten och ordna om s
y:
0 \u003d v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y −2a_ys_y \u003d v_ {0y} ^ 2 s_y \u003d \\ frac {−v_ {0y} ^ 2} {2a_y}}

Eftersom det är vettigt att ringa uppåt riktningen y
, och eftersom accelerationen på grund av tyngdkraften g
riktas nedåt (dvs. i riktningen - y
) kan vi ändra a
_{y för - g
. Slutligen, genom att ringa s
y höjden h
, kan vi skriva:
h \u003d \\ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g}}

Så det enda du behöver räkna ut för att lösa problemet är den vertikala komponenten i den ursprungliga hastigheten, som du kan göra med den trigonometriska metoden från föregående avsnitt. Så med informationen från frågan (60 m /s och 70 grader till den horisontella lanseringen) ger detta:
\\ begin {inriktad} v_ {0y} &\u003d 60 \\; \\ text {m /s} × \\ sin (70) \\\\ &\u003d 56.38 \\; \\ text {m /s} \\ slut {inriktad}

Nu kan du lösa för maximal höjd:
\\ begin {inriktad} h &\u003d \\ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g} \\\\ &\u003d \\ frac {(56.38 \\; \\ text {m /s}) ^ 2} {2 × 9.8 \\; \\ text {m /s} ^ 2} \\\\ &\u003d 162.19 \\ text {m} \\ slut {inriktad}

Så fyrverkeriet kommer att explodera ungefär 162 meter från marken.
Fortsätter exemplet: Tid för flygning och avstånd som resas

Efter att ha löst grunderna i projektilrörelseproblemet baserat rent på den vertikala rörelsen, resten av problemet kan enkelt lösas. Först och främst tiden från lanseringen som säkringen exploderar kan hittas genom att använda en av de andra konstanta accelerationsekvationerna. När du tittar på alternativen har följande uttryck:
s_y \u003d \\ bigg (\\ frac {v_y + v_ {0y}} {2} \\ bigg) t \\\\

har tiden t
, vilket är vad du vill veta; förflyttningen, som du vet för den maximala punkten för flygningen; den initiala vertikala hastigheten; och hastigheten vid den maximala höjden (som vi vet är noll). Så baserat på detta kan ekvationen ordnas för att ge ett uttryck för tidpunkten för flygning:
s_y \u003d \\ bigg (\\ frac {v_ {0y}} {2} \\ bigg) t \\\\ t \u003d \\ frac {2s_y} {v_ {0y}}

Så om du sätter in värdena och löser för t
ger:
\\ start {inriktad} t &\u003d \\ frac {2 × 162.19 \\; \\ text {m}} {56.38 \\; \\ text {m /s}} \\\\ &\u003d 5.75 \\; \\ text {s} \\ end {inriktad}

Så fyrverkeriet exploderar 5,75 sekunder efter lanseringen.

Slutligen kan du enkelt bestämma det horisontella avstånd som reste baserat på den första ekvationen, som (i horisontell riktning) anger:
v_x \u003d v_ {0x} + a_xt

Men att notera att det inte finns någon acceleration i x
-riktning, detta är helt enkelt:
v_x \u003d v_ {0x}

Vilket innebär att hastigheten i x
-riktningen är densamma under fyrverkeriets resa. Med tanke på att v
\u003d d
/ t
, där d
är avstånden, är det lätt att se att d
\u003d vt
, och så i detta fall (med s
_{x \u003d d
):
s_x \u003d v_ {0x} t}

Så du kan ersätta v
_{0x med det trigonometriska uttrycket från tidigare, mata in värdena och lösa:
\\ begin {inriktad} s_x &\u003d v_0 \\ cos (θ) t \\\\ &\u003d 60 \\; \\ text {m /s} × \\ cos (70) × 5,75 \\; \\ text {s} \\\\ &\u003d 118 \\; \\ text {m} \\ slut {inpassad}}

Så det kommer att resa grader till horisontellt) misslyckades med att explodera vid toppen av sin parabola och landar istället på marken oexploderad. Kan du beräkna den totala flygtiden i detta fall? Hur långt borta från lanseringsplatsen i horisontell riktning kommer den att landa, eller med andra ord, vilket är området för projektilen?

Detta problem fungerar i princip på samma sätt, där de vertikala komponenterna för hastighet och förskjutning är de viktigaste sakerna du måste tänka på för att bestämma flygtiden, och från detta kan du bestämma intervallet. Istället för att arbeta igenom lösningen i detalj kan du själv lösa det här baserat på föregående exempel.

Det finns formler för en projektils räckvidd, som du kan slå upp eller härleda från konstant accelerationsekvationer, men detta behövs egentligen inte, för du vet redan projektilens maximala höjd, och från denna punkt är det bara i fritt fall under tyngdkraften.

Detta betyder att du kan bestämma tiden fyrverkeriet tar att falla tillbaka till marken och lägg sedan till flygningstiden till maximal höjd för att bestämma den totala flygtiden. Sedan dess är det samma process med att använda den konstanta hastigheten i horisontell riktning längs flygtiden för att bestämma intervallet.

Visa att flygtiden är 11,5 sekunder, och intervallet är 236 m, notera att du måste beräkna den vertikala komponenten av hastigheten vid den punkt den träffar marken som ett mellansteg.