Hur man beräknar packningsfraktionen av ett diamantgitter

Atomer i fasta ämnen är arrangerade i en av flera periodiska strukturer kända som ett gitter. Kristallina strukturer, i motsats till amorfa strukturer, visar ett bestämt repetitivt mönster av atomarrangemang. De flesta fasta partiklar bildar ett regelbundet arrangemang av atomer som ett sätt att minimera energi i systemet. Den enklaste upprepande enheten av atomer i en struktur kallas enhetscellen. Hela den fasta strukturen består av denna enhetscell upprepad i tre dimensioner.

TL; DR (för lång; läste inte)

Diamantgitteret är ansiktscentrerat kubiskt. Den förenklade packningsfraktionen är 8 x (V-atom) /V-enhetscell. Efter att ha gjort substitutioner för känd volym sfärer och kuber och förenklat blir ekvationen √3 x π /16 med en lösning av 0,3401.

Det finns totalt 14 typer av gittersystem som är indelade i sju kategorier . De sju typerna av gitter är kubiska, tetragonala, monokliniska, ortorombiska, romboedrala, hexagonala och trikliniska. Den kubiska kategorin innehåller tre typer av enhetsceller: enkel kubisk, kropps centrerad kubik och ansiktscentrerad kubik. Diamantgitteret är kubiskt med ansiktet centrerad.

Den kubiska ansiktscentrerade strukturen har åtta atomer per enhetscell belägen vid vart och ett av hörnen och mitten av alla kubiska ytor. Var och en av hörnatomerna är hörnet på en annan kub, så hörnatomerna delas mellan åtta enhetsceller. Dessutom delas var och en av sina sex ansiktscentrerade atomer med en angränsande atom. Eftersom 12 av dess atomer delas har den ett koordinationsnummer på 12.

Förhållandet mellan volymen atomer i en cell jämfört med den totala volymen för en cell är packningsfaktorn eller packningsfraktionen. Packningsfraktionen anger hur nära atomerna packas i en enhetscell.

Du kan beräkna diamantförpackningstätheten för ett material med några materialparametrar och enkel matematik.

Ekvationen för packningsfraktion är:

Packningsfraktion \u003d (N-atomer) x (V-atom) /V-enhetscell.

N-atomer är antalet atomer i en enhetscell. V-atomen är atomens volym, och V-enhetscellen är volymen för en enhetscell.

Byt ut antalet atomer per enhetscell i ekvationen. Diamanten har åtta atomer per enhetscell, så diamantförpackningsfraktionsekvationen blir nu:

Packningsfraktion \u003d 8 x (V-atom) /V-enhetscell

Byt ut atomens volym i ekvation. Antagande atomer är sfäriska, volymen är: V \u003d 4/3 × π × r ³

Ekvationen för packningsfraktionen blir nu:

Packningsfraktion \u003d 8 x 4/3 × π × r ^{3 /V enhetscell}

Byt ut värdet för enhetscellvolymen. Eftersom enhetscellen är kubisk är volymen V enhetscell \u003d a ³

Formeln för packningsfraktion blir då:

Packningsfraktion \u003d 8 x 4/3 × π × r ^{3 /a ³}