Förstå koncepten
* enkel harmonisk rörelse (SHM): En typ av periodisk rörelse där återställningskraften är proportionell mot förskjutningen från jämvikt. Exempel inkluderar en massa på en vår eller en pendel.
* kinetic energi (KE): Rörelseenergi, beräknad som KE =(1/2) MV², där M är massa och V är hastighet.
* Potential Energy (PE): Lagrad energi på grund av ett objekts position eller konfiguration. I SHM är den potentiella energin vanligtvis associerad med återställningskraften (t.ex. vårens potentiella energi).
härledning
1. Total energi: Den totala mekaniska energin (E) i SHM är konstant och är summan av kinetisk och potentiell energi:
E =ke + pe
2. lika energier: När KE =PE kan vi skriva om den totala energiekvationen som:
E =2KE =2PE
3. Uttryck KE och PE när det gäller förskjutning:
* KE =(1/2) MV²
* PE =(1/2) kx², där k är fjäderkonstanten (eller en liknande återställning av kraftkonstant) och x är förskjutningen från jämvikt.
4. Ekvatenergier:
2 [(1/2) MV²] =2 [(1/2) kx²]
mv² =kx²
5. hastighet i SHM: Hastigheten (V) för ett objekt i SHM kan uttryckas som:
v =ω√ (a² - x²) där ω är vinkelfrekvensen och A är svängningsamplituden.
6. ersätter och löser: Ersätt hastighetsuttrycket i energiekvationen:
M [ω√ (a² - x²)] ² =kx²
MΩ² (A² - X²) =KX²
7. Förenklande: Ordna om ekvationen för att lösa för x:
MΩ²A² =(MΩ² + K) X²
x² =(MΩ²A²) / (MΩ² + K)
8. med förhållandet mellan ω och k: Kom ihåg att ω² =k/m. Ersätta detta i ekvationen:
x² =(MΩ²A²) / (MΩ² + MΩ²)
x² =(MΩ²A²) / (2mΩ²)
x² =a²/2
9. förskjutning: Ta kvadratroten på båda sidor:
x =a/√2
Slutsats
När de kinetiska och potentiella energierna hos ett föremål i enkel harmonisk rörelse är lika, är förskjutningen (x) lika med amplituden (a) dividerat med kvadratroten på 2. Detta betyder att objektet är i en position cirka 70,7% av vägen från dess jämviktsposition till dess maximala amplitud.
