Ekvationen för ett plan i tredimensionellt utrymme kan skrivas i algebraisk beteckning som ax + by + cz = d, där minst en av realtalskonstanterna "a," "b" och "c" får inte vara noll och "x", "y" och "z" representerar axlarna i det tredimensionella planet. Om tre punkter ges kan du bestämma planet med vektorkorsprodukter. En vektor är en linje i rymden. En korsprodukt är multipliceringen av två vektorer.
Hämta de tre punkterna på planet. Märk dem "A", "B" och "C." Antag exempelvis att dessa punkter är A = (3, 1, 1); B = (1, 4, 2); och C = (1, 3, 4).
Hitta två olika vektorer på planet. I exemplet väljer du vektorer AB och AC. Vector AB går från punkt-A till punkt-B, och vektor AC går från punkt-A till punkt-C. Så subtrahera varje koordinat i punkt-A från varje koordinat i punkt-B för att få vektor AB: (-2, 3, 1). På liknande sätt är vektor AC punkt-C minuspunkt-A eller (-2, 2, 3).
Beräkna korsprodukten av de två vektorerna för att få en ny vektor, som är normal (eller vinkelrätt eller ortogonala) till var och en av de två vektorerna och även till planet. Korsprodukten av två vektorer, (a1, a2, a3) och (b1, b2, b3) ges av N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1). I exemplet är korsprodukten, N, AB och AC, jag [(3 x 3) - (1 x 2)] + j [(1 x -2) - (-2 x 3)] + k [ -2 x 2) - (3x - 2)], vilket förenklar N = 7i + 4j + 2k. Observera att "jag", "j" och "k" används för att representera vektorkoordinater.
Avleda ekvationen för planet. Plans ekvation är Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0, där (a1, a2, a3) är vilken punkt som helst i planet och (Ni, Nj, Nk ) är den normala vektorn, N. I exemplet är planetens ekvation 7 (x - 1) + 4 (y - 3) + 2 (z - 4) = 0, vilket förenklar till 7x - 7 + 4y - 12 + 2z - 8 = 0, eller 7x + 4y + 2z = 27.
Verifiera ditt svar. Byt ut de ursprungliga punkterna för att se om de uppfyller planetens ekvation. För att avsluta exemplet, om du ersätter någon av de tre punkterna ser du att planetens ekvation verkligen är nöjd.
Tips
Se Resurser för tips om hur du använder system av tre samtidiga ekvationer för att hitta ekvationen för ett plan.
