Det finns en viktig stor skillnad mellan att hitta den vertikala asymptoten (n) i grafen för en rationell funktion och att hitta ett hål i graden för den funktionen. Även med de moderna graferna som vi har, är det väldigt svårt att se eller identifiera att det finns ett hål i grafen. Denna artikel kommer att visa hur man identifierar både analytiskt och grafiskt.
Vi använder en viss rationell funktion som ett exempel för att visa analytiskt, hur man hittar en vertikal asymptote och ett hål i grafen för den funktionen. Låt den rationella funktionen vara ... f (x) = (x-2) /(x² - 5x + 6).
Faktorerar nämnaren av f (x) = (x-2) /( x² - 5x + 6). Vi får följande ekvivalenta funktion, f (x) = (x-2) /[(x-2) (x-3)]. Nu om nämnaren (x-2) (x-3) = 0, kommer den rationella funktionen att vara odefinierad, det vill säga Division of Zero (0). Se artikeln "Hur delas med noll (0)", skrivet av samma författare, Z-MATH.
Vi kommer att märka att Division by Zero, är odefinierad endast om det rationella uttrycket har en numerator som är inte lika med noll (0), och nämnaren är lika med noll (0), i så fall går grafen för funktionen utan gränser mot positiv eller negativ infinitet vid värdet av x som gör att nivåns uttryck är lika med noll . Det är vid denna x att vi ritar en vertikal linje, som kallas den vertikala asymptoten.
Om numreraren och nämnaren av det rationella uttrycket är både noll (0), för samma värde av x, då Division noll vid detta värde av x sägs vara "meningslöst" eller obestämt, och vi har ett hål i grafen vid detta värde av x.
Så, i den rationella funktionen f (x) = ( x-2) /[(x-2) (x-3)] ser vi att vid x = 2 eller x = 3 är nämnaren lika med noll (0). Men vid x = 3 ser vi att Numerator är lika med (1), det vill säga f (3) = 1/0, sålunda en vertikal asymptot vid x = 3. Men vid x = 2 har vi f (2 ) = 0/0, "meningslöst". Det finns ett hål i graven vid x = 2.
Vi kan hitta koordinaterna för hålet genom att hitta en motsvarande rationell funktion till f (x), som har alla samma punkter i f (x) utom vid punkten vid x = 2. Det betyder att låt g (x) = (x-2) /[(x-2) (x-3)], x ≠ 2, så genom att reducera till lägsta termer har vi g (x) = 1 /3). Genom att ersätta x = 2, till denna funktion får vi g (2) = 1 /(2-3) = 1 /(- 1) = -1. så hålen i grafen f (x) = (x-2) /(x² - 5x + 6) är vid (2, -1).
