De tre metoder som oftast används för att lösa system av ekvation är substitution, eliminering och förstärkta matriser. Substitution och eliminering är enkla metoder som effektivt kan lösa de flesta system i två ekvationer i några enkla steg. Metoden för förstärkta matriser kräver fler steg, men dess tillämpning sträcker sig till en större mängd system.
Substitution
Substitution är ett sätt att lösa ekvationssystem genom att ta bort allt utom en av variablerna i en av ekvationerna och sedan lösa den ekvationen. Detta uppnås genom att isolera den andra variabeln i en ekvation och sedan ersätta värden för dessa variabler i en annan annan ekvation. Till exempel, för att lösa systemet med ekvationer x + y = 4, 2x - 3y = 3, isolera variabeln x i den första ekvationen för att få x = 4 - y, ersätt sedan detta värde av y till den andra ekvationen för att få 2 (4 - y) - 3y = 3. Denna ekvation förenklas till -5y = -5 eller y = 1. Anslut detta värde till den andra ekvationen för att hitta värdet av x: x + 1 = 4 eller x = 3.
Eliminering
Eliminering är ett annat sätt att lösa system av ekvationer genom att skriva om en av ekvationerna när det gäller endast en variabel. Elimineringsmetoden åstadkommer detta genom att lägga till eller subtrahera ekvationer från varandra för att avbryta en av variablerna. Till exempel lägger till ekvationerna x + 2y = 3 och 2x - 2y = 3 en ny ekvation, 3x = 6 (observera att y-terminerna avbrutits). Systemet löses sedan med samma metoder som för substitution. Om det är omöjligt att avbryta variablerna i ekvationerna, kommer det att vara nödvändigt att multiplicera hela ekvationen med en faktor för att koefficienterna ska matchas.
Augmented Matrix
Förhöjda matriser kan också användas för att lösa system av ekvationer. Den förstärkta matrisen består av rader för varje ekvation, kolumner för varje variabel och en förstorad kolumn som innehåller den konstanta termen på andra sidan ekvationen. Till exempel är den förstärkta matrisen för systemet med ekvationer 2x + y = 4, 2x - y = 0 [[2 1], [2-1] ... [4, 0]].
Bestämning av lösningen
Nästa steg innebär att använda elementära radoperationer som att multiplicera eller dividera en rad med en konstant annan än noll och lägga till eller subtrahera rader. Målet med dessa operationer är att omvandla matrisen till rad-echelonform, där den första icke-noll-posten i varje rad är en 1, poster över och under denna post är alla nollor och den första nollpunkten för varje raden är alltid till höger om alla sådana poster i raderna ovanför den. Råg-echelonform för ovanstående matris är [[1 0], [0 1] ... [1, 2]]. Värdet på den första variabeln ges av den första raden (1x + 0y = 1 eller x = 1). Värdet på den andra variabeln ges av den andra raden (0x + 1y = 2 eller y = 2).
Applikationer
Substitution och eliminering är enklare metoder för att lösa ekvationer och används mycket oftare än förstärkta matriser i grundalgebra. Substitutionsmetoden är speciellt användbar när en av variablerna redan är isolerad i en av ekvationerna. Elimineringsmetoden är användbar när koefficienten för en av variablerna är densamma (eller dess negativa ekvivalent) i alla ekvationerna. Den främsta fördelen med förstärkta matriser är att den kan användas för att lösa system med tre eller flera ekvationer i situationer där substitution och eliminering antingen är oåtkomliga eller omöjliga.
