Ett av de mest kända resultaten inom detta område är Keplers gissningar. Denna gissning säger att av alla vanliga polyhedroner uppnås den tätaste packningen av det ansiktscentrerade kubiska gittret. I detta galler är varje polyeder omgiven av 12 andra polyeder.
Keplers gissning föreslogs först 1611, men det bevisades inte förrän 1998. Beviset, som publicerades i Annals of Mathematics, var över 300 sidor långt och förlitade sig på en mängd olika matematiska tekniker.
Keplers gissning har utvidgats till andra typer av polyeder, såsom konvexa polyeder och polyedrar med samma volym. Det finns dock fortfarande ett antal öppna problem på detta område. Till exempel är det inte känt vad den tätaste packningen är för alla konvexa polyeder.
Att packa polyeder i en låda är ett utmanande problem, men det är också ett vackert och fascinerande sådant. Det är ett problem som har fångat vetenskapsmäns och matematikers uppmärksamhet i århundraden, och det kommer sannolikt att fortsätta att studeras under många år framöver.
Här är några ytterligare detaljer om att packa polyeder i en låda:
- Densiteten hos en packning definieras som förhållandet mellan volymen av polyedronerna och lådans volym.
- Den tätaste packningen av sfärer uppnås av det ansiktscentrerade kubiska gittret. I detta galler är varje sfär omgiven av 12 andra sfärer.
- Den tätaste packningen av kuber uppnås av det kroppscentrerade kubiska gittret. I detta galler är varje kub omgiven av 8 andra kuber.
– Den tätaste packningen av tetraedrar uppnås av det enkla kubiska gittret. I detta galler är varje tetraeder omgiven av 4 andra tetraedrar.
- Keplers gissning säger att av alla vanliga polyedrar uppnås den tätaste packningen av det ansiktscentrerade kubiska gittret. I detta galler är varje polyeder omgiven av 12 andra polyeder.
– Keplers gissning har utvidgats till andra typer av polyeder, som konvexa polyeder och polyedrar med samma volym. Det finns dock fortfarande ett antal öppna problem på detta område. Till exempel är det inte känt vad den tätaste packningen är för alla konvexa polyeder.
