Många elever har svårt att hitta avståndet mellan två punkter på en rak linje, det är mer utmanande för dem när de måste hitta avståndet mellan två punkter längs en kurva. I den här artikeln visas ett exempel på hur man hittar detta avstånd.
För att hitta avståndet mellan två punkter A (x1, y1) och B (x2, y2) på en rak linje på xy-planet använder vi distansformeln, som är ... d (AB) = √ [(x1-y1) ^ 2 + (x2-y2) ^ 2]. Vi ska nu visa hur denna formel fungerar med ett exempelproblem. Klicka på bilden för att se hur det görs.
Nu kommer vi att hitta avståndet mellan två punkter A och B på en kurva definierad av en funktion f (x) på ett slutet intervall [a, b] . För att hitta detta avstånd bör vi använda formeln s = Integralen, mellan den nedre gränsen, a och den övre gränsen, b, för integanden √ (1 + [f '(x)] ^ 2) med avseende på variabeln av integration, dx. Vänligen klicka på bilden för en bättre bild.
Funktionen som vi ska använda som ett exempelproblem, över den slutna intervallet [1,3], är ... f (x) = (1 /2) [(x + 4) √ [(x + 4) ^ 2-1] -In [(x + 4) + √ [(x + 4) ^ 2-1]]]. derivatet av denna funktion är ... f '(x) = √ [(x + 4) ^ 2-1], vi kommer nu att ruta båda sidor om derivatets funktion. Det är [f '(x)] ^ 2 = [√ [(x + 4) ^ 2-1]] ^ 2, vilket ger oss [f' (x)] ^ 2 = (x + 4) ^ 2 - 1. Vi ersätter nu detta uttryck i ljusbågsformeln /Integral of, s. Integrera sedan.
Vänligen klicka på bilden för en bättre förståelse.
Sedan har vi genom substitution följande: s = Integralet, mellan den nedre gränsen, 1 och den övre gränsen , 3, av integandet √ (1 + [f '(x)] ^ 2) = integralen √ (1 + (x + 4) ^ 2 - 1). vilket är lika med √ ((x + 4) ^ 2). Genom att utföra antivivativet på denna Integrand, och enligt den grundläggande teorem av Calculus får vi ... {[(x ^ 2) /2] + 4x} där vi först ersätter den övre gränsen 3 och från detta resultat, Vi subtraherar resultatet av substitutionen av den nedre gränsen, 1. Det är {[(3 ^ 2/2] + 4 (3)} - {[(1 ^ 2) /2] + 4 (1)} är lika med {[(9/2) + 12]} - {[(1/2) + 4]} = {(33/2) - (9/2)} vilket är lika med (24/2) = 12. Så är funktionen /kurvens längd /avstånd över intervallet [1,3], 12 enheter.
