Volymen av ett tredimensionellt fastämne är mängden tredimensionellt utrymme som det upptar. Volymen av några enkla siffror kan beräknas direkt när ytan på en av sidorna är känd. Volymen av många former kan också beräknas från deras yta. Volymen av några mer komplicerade former kan beräknas med integrerad kalkyl om funktionen som beskriver dess yta är integrerbar.

Låt \\ "S \\" vara ett fast ämne med två parallella ytor som kallas \\ "baser \\". Alla tvärsnitt av det fasta som är parallella med baserna måste ha samma yta som baserna. Låt \\ "b \\" vara området för dessa tvärsnitt, och låt \\ "h \\" vara avståndet som skiljer de två planerna som baserna ligger i.

Beräkna volymen av \\ "S \\" som V = bh. Prismor och cylindrar är enkla exempel på denna typ av fasta ämnen, men det innehåller också mer komplicerade former. Observera att volymen av dessa fasta ämnen lätt kan beräknas, oavsett hur komplicerad basens form är, så länge som villkoren i steg 1 håller och basytans yta är känd.

Låt \\ P \\ "vara en fast formad genom att ansluta en bas med en punkt som kallas en topp. Låt avståndet mellan toppen och basen vara \\ "h, \\" och avståndet mellan basen och ett tvärsnitt som är parallellt med basen vara \\ "z. \\" Vidare låt basens område vara \\ "b \\ "och tvärsnittet är \\" c. \\ "För alla sådana tvärsnitt, (h - z) /h = c /b.

Beräkna volymen av \\" P \\ "i Steg 3 som V = bh /3. Pyramider och kottar är enkla exempel på denna typ av fasta ämnen, men det innehåller också mer komplicerade former. Basen kan vara vilken form som helst så länge dess yta är känd och villkoren i steg 3 hålls.

Beräkna volymen av en sfär från dess yta. Ytan på en sfär är A = 4? R ^ 2. Genom att integrera denna funktion med avseende på \\ "r, \\" får vi sfärens volym som V = 4/3? R ^ 3.