I segling, bergsklättring, konstruktion, och all aktivitet som kräver säkrande av rep, vissa knutar är kända för att vara starkare än andra. Alla rutinerade sjömän vet, till exempel, att en typ av knut kommer att fästa ett blad till ett försegel, medan en annan är bättre för att koppla en båt till en pålning.

Men vad exakt gör en knut stabilare än en annan har inte förståtts väl, tills nu.

MIT matematiker och ingenjörer har utvecklat en matematisk modell som förutsäger hur stabil en knut är, baserat på flera nyckelegenskaper, inklusive antalet inblandade korsningar och riktningen i vilken repsegmenten vrids när knuten dras åt.

"Dessa subtila skillnader mellan knutar avgör kritiskt om en knut är stark eller inte, säger Jörn Dunkel, docent i matematik vid MIT. "Med den här modellen, du borde kunna se två knutar som är nästan identiska, och kunna säga vilken som är bäst."

"Empirisk kunskap som förfinats under århundraden har utkristalliserat vilka de bästa knutarna är, tillägger Mathias Kolle, Rockwell International Career Development Associate Professor vid MIT. "Och nu visar modellen varför."

Dunkel, Kolle, och Ph.D. studenterna Vishal Patil och Joseph Sandt har publicerat sina resultat i dag i tidskriften Vetenskap .

Tryckets färg

Under 2018, Kolles grupp konstruerade töjbara fibrer som ändrar färg som svar på belastning eller tryck. Forskarna visade att när de drog på en fiber, dess nyans ändrades från en färg på regnbågen till en annan, särskilt i områden som upplevde den största stressen eller pressen.

Kolle, en docent i maskinteknik, bjöds in av MIT:s matematikavdelning för att hålla ett föredrag om fibrerna. Dunkel var i publiken och började koka ihop en idé:Tänk om de tryckavkännande fibrerna kunde användas för att studera stabiliteten i knop?

Matematiker har länge varit fascinerade av knutar, så mycket att fysiska knutar har inspirerat ett helt delområde av topologi, känt som knutteori - studiet av teoretiska knutar vars ändar, till skillnad från faktiska knop, sammanfogas för att bilda ett kontinuerligt mönster. I knutteorin, matematiker försöker beskriva en knut i matematiska termer, tillsammans med alla sätt som den kan vridas eller deformeras samtidigt som den behåller sin topologi, eller allmän geometri.

"I matematisk knutteori, du kastar ut allt som har med mekanik att göra, Dunkel säger. "Du bryr dig inte om huruvida du har en styv eller mjuk fiber - det är samma knut från en matematikers synvinkel. Men vi ville se om vi kunde lägga till något till den matematiska modelleringen av knutar som står för deras mekaniska egenskaper, att kunna säga varför en knut är starkare än en annan."

Spaghetti fysik

Dunkel och Kolle gick ihop för att identifiera vad som avgör en knuts stabilitet. Teamet använde först Kolles fibrer för att knyta en mängd olika knutar, inklusive trefoil och figur-åtta knutar - konfigurationer som var bekanta för Kolle, som är en ivrig sjöman, och till bergsklättrande medlemmar i Dunkels grupp. De fotograferade varje fiber, notera var och när fibern ändrade färg, tillsammans med kraften som applicerades på fibern när den drogs åt.

Forskarna använde data från dessa experiment för att kalibrera en modell som Dunkels grupp tidigare implementerat för att beskriva en annan typ av fiber:spagetti. I den modellen, Patil och Dunkel beskrev beteendet hos spagetti och andra flexibla, repliknande strukturer genom att behandla varje sträng som en kedja av små, diskret, fjäderanslutna pärlor. Hur varje fjäder böjs och deformeras kan beräknas utifrån den kraft som appliceras på varje enskild fjäder.

Kolles elev Joseph Sandt hade tidigare ritat en färgkarta baserad på experiment med fibrerna, som korrelerar en fibers färg med ett givet tryck som appliceras på den fibern. Patil och Dunkel införlivade denna färgkarta i sin spagettimodell, använde sedan modellen för att simulera samma knutar som forskarna hade knutit fysiskt med hjälp av fibrerna. När de jämförde knutarna i experimenten med de i simuleringarna, de fann att färgmönstret i båda var praktiskt taget detsamma – ett tecken på att modellen exakt simulerade fördelningen av stress i knop.

Med förtroende för sin modell, Patil simulerade sedan mer komplicerade knutar, noterade vilka knutar som upplevde mer press och var därför starkare än andra knutar. När de väl kategoriserade knutar baserat på deras relativa styrka, Patil och Dunkel letade efter en förklaring till varför vissa knutar var starkare än andra. Att göra detta, de ritade enkla diagram för den välkända mormor, rev, tjuv, och sorgknutar, tillsammans med mer komplicerade, som carrick, zeppelinare, och alpfjäril.

Varje knutdiagram visar mönstret av de två trådarna i en knut innan den dras åt. Forskarna inkluderade riktningen för varje segment av en sträng när den dras, tillsammans med var trådarna korsar. De noterade också riktningen varje segment av en tråd roterar när en knut dras åt.

När man jämför diagrammen över knutar med olika styrka, forskarna kunde identifiera allmänna "räkneregler, " eller egenskaper som bestämmer en knuts stabilitet. I grund och botten, en knut är starkare om den har fler strängkorsningar, såväl som fler "twistfluktuationer" — förändringar i rotationsriktningen från ett strängsegment till ett annat.

Till exempel, om ett fibersegment vrids åt vänster vid en korsning och roteras åt höger vid en angränsande korsning när en knut dras åt, detta skapar en vridningsfluktuation och därmed motverkande friktion, vilket ger stabilitet till en knut. Om, dock, segmentet roteras i samma riktning vid två angränsande korsningar, det finns inga twistfluktuationer, och strängen är mer benägen att rotera och glida, ger en svagare knut.

De fann också att en knut kan göras starkare om den har mer "cirkulationer, " som de definierar som ett område i en knut där två parallella trådar loopar mot varandra i motsatta riktningar, som ett cirkulärt flöde.

Genom att ta hänsyn till dessa enkla räkneregler, teamet kunde förklara varför en revknuta, till exempel, är starkare än en mormorsknut. Även om de två är nästan identiska, revknuten har ett högre antal vridningsfluktuationer, vilket gör det till en mer stabil konfiguration. Likaså, zeppelin-knuten, på grund av dess något högre cirkulationer och vridningsfluktuationer, är starkare, även om det kanske är svårare att lossa, än alpfjärilen — en knut som ofta används vid klättring.

"Om du tar en familj av liknande knutar från vilken empirisk kunskap pekar ut en som "den bästa, "Nu kan vi säga varför det kan förtjäna denna utmärkelse, säger Kolle, vem som föreställer sig den nya modellen kan användas för att konfigurera knutar med olika styrkor för att passa specifika applikationer. "Vi kan spela knutar mot varandra för användning vid suturering, segling, klättrande, och konstruktion. Det är underbart."

Denna artikel publiceras på nytt med tillstånd av MIT News (web.mit.edu/newsoffice/), en populär webbplats som täcker nyheter om MIT -forskning, innovation och undervisning.