Till skillnad från en liksidig triangel med sina tre lika sidor och vinklar, en isosceles med sina två lika sidor, eller en rätt triangel med 90 graders vinkel, har en skalentriangel tre sidor av slumpmässiga längder och tre slumpmässiga vinklar. Om du vill veta sitt område måste du göra några mätningar. Om du kan mäta längden på ena sidan och det vinkelräta avståndet på den sidan i motsatt vinkel, har du tillräckligt med information för att beräkna området. Det är också möjligt att beräkna området om du känner längden på alla tre sidorna. Att bestämma värdet på en av vinklarna samt längden på de två sidorna som bildar den gör det också möjligt att beräkna området.

TL; DR (för länge, läste inte)

Arean av en skalentriangel med bas b och höjd h ges med 1/2 bh. Om du känner längden på alla tre sidor kan du beräkna området med hjälp av Herons formel utan att hitta höjden. Om du vet värdet av en vinkel och längderna på de två sidorna som bildar den, kan du hitta längden på den tredje sidan med hjälp av Cosins lag och sedan använda Herons formel för att beräkna området.

Allmän formel för att hitta område

Tänk på en slumpmässig triangel. Det är möjligt att skriva en rektangel runt den som använder en av sidorna som bas (det spelar ingen roll vilken som helst) och berör bara toppen av den tredje vinkeln. Längden på denna rektangel är lika med längden på sidan av triangeln som bildar den, som kallas basen (b). Dess bredd är lika med det vinkelräta avståndet från basen till toppen, som kallas höjd (h) i triangeln.

Det rektangelområde du just dragit är lika med b ⋅ h. Men om du tittar på linjerna i triangeln ser du att de delar rektanglarna som skapas av den vinkelräta linjen från basen till toppen exakt i hälften. Således är området inuti triangeln exakt hälften av det där, eller 1/2 bh. För någon triangel:

Område = 1/2 bas ⋅ höjd

Herons formel

Matematiker har känt hur man beräknar området för en triangel med tre kända sidor i årtusenden. De använder Herons formel, uppkallad efter Hero of Alexandria. För att använda den här formeln måste du först hitta halvkanten av triangeln, som du gör genom att lägga till alla tre sidor och dela resultatet med två. För en triangel med sidorna a, b och c, halvomriktaren s = 1/2 (a + b + c). När du väl vet s beräknar du arean med den här formeln:

Område = kvadratroten [s (s - a) (s - b) (s - c)]

Använda lagen om Cosines

Tänk på en triangel med tre vinklar A, B och C. Längden på de tre sidorna är a, b och c. Sidan a är motsatt vinkel A, sidan b är motsatt vinkel B och sidan c är motsatt vinkel C. Om du vet en av vinklarna - till exempel vinkel C - och de två sidorna som bildar den - i det här fallet a och b - du kan beräkna längden på den tredje sidan med denna formel:

c ^{2 = a 2 + b 2 - 2ab cos (C)}

När du väl vet värdet av c kan du beräkna området med hjälp av Herons formel.