Du har förmodligen en intuitiv uppfattning om vad en cirkel är:formen på en basketkorg, ett hjul eller en kvart. Du kanske till och med minns från gymnasiet att radien är vilken rät linje som helst som börjar från cirkelns mitt och slutar vid dess omkrets.
En enhetscirkel är bara en cirkel som har en radie med en längd på 1. Men ofta kommer den med några andra klockor och visselpipor.
Innehåll
En enhetscirkel definierar rätvinkliga triangelförhållanden som kallas sinus, cosinus och tangens. Dessa samband beskriver hur vinklar och sidor av räta trianglar förhåller sig till varandra.
Säg till exempel att vi har en rätvinklig triangel med 30 graders vinkel och vars längsta sida, eller hypotenusa, är 7. Vi kan använda våra fördefinierade rätvinkliga triangelförhållanden för att räkna ut sidolängderna på triangelns återstående två sidor.
Denna gren av matematik, känd som trigonometri, har vardagliga praktiska tillämpningar som konstruktion, GPS, VVS, videospel, ingenjörsarbete, snickararbete och flygnavigering.
För att memorera en standardenhetscirkel måste vi kunna återkalla tre huvudkomponenter:
För att hjälpa oss kommer vi att återkalla en resa till Unit Pizza Palace. Ta en stund att memorera följande tills du kan recitera det utan att titta:
Föreställ dig en hel pizza, skuren i fyra jämna skivor. I matematik skulle vi kalla dessa fyra delar av cirkeln för kvadranter.
Vi kan använda (x, y) koordinater för att beskriva vilken punkt som helst längs cirkelns yttre kant. X-värdet eller x-koordinaten representerar avståndet till vänster eller höger från mitten, medan y-värdet eller y-koordinaten representerar avståndet som tillryggalagts uppåt eller nedåt.
X-koordinaten är cosinus för vinkeln som bildas av punkten, origo och x-axeln. Y-koordinaten motsvarar det exakta värdet av sinusfunktionen för den vinkeln.
I en enhetscirkel kommer en rät linje som går direkt från cirkelns mitt att nå cirkelns kant vid koordinaten (1, 0). Här är koordinaterna om linjen gick åt andra håll:
De fyra associerade vinklarna (i radianer, inte grader) har alla en nämnare på 2. (En radian är vinkeln som skapas när man tar radien och lindar den runt en cirkel. En grad mäter vinklar efter tillryggalagd sträcka. En cirkel är 360 grader eller 2π radianer).
Täljarna börjar vid 0, börjar vid koordinaten (1,0), och räknar upp moturs med 1π. Denna process kommer att ge 0π/2, 1π/2, 2π/2 och 3π/2. Förenkla dessa bråk för att få 0, π/2, π och 3π/2.
Börja med "3 pajer." Ta en titt på y-axeln. Radianvinklarna direkt till höger och vänster om y-axeln har alla en nämnare på 3. Varje återstående vinkel har en täljare som inkluderar det matematiska värdet pi, skrivet som π.
"3 pajer för 6" används för att återkalla de återstående 12 vinklarna i en standardenhetscirkel, med tre vinklar i varje kvadrant. Var och en av dessa vinklar skrivs som en bråkdel.
"För $6" är för att påminna oss om att i varje kvadrant är de återstående nämnarna 4 och sedan 6.
Den svåraste delen av detta steg är att fylla i täljaren för varje bråkdel.
I kvadrant 2 (den övre vänstra fjärdedelen av cirkeln), sätt 2, sedan 3 och sedan 5 framför π.
Din första vinkel i kvadrant 2 kommer att vara 2π/3. Detta beräknas enkelt genom att lägga samman 2:an i täljaren och 3:an i nämnaren, vilket är lika med 5.
Titta på vinkeln rakt över i kvadrant 4 (nedre högra fjärdedelen av cirkeln). Placera denna 5 i täljaren framför π. Upprepa denna process för de andra två vinklarna i kvadranter 2 och 4.
Vi upprepar samma process för kvadranter 1 (överst till höger) och 3 (nedre till vänster). Kom ihåg att precis som x är samma som 1x, är π samma som 1π. Så vi lägger till 1 till alla nämnare i kvadrant 1.
Processen för att lista vinklar i grader (istället för radianer) beskrivs i slutet av den här artikeln.
"2" i "2 kvadratiska tabeller" är för att påminna oss om att alla de återstående 12 koordinatparen har en nämnare på 2.
"Kvadrat" är för att påminna oss om att täljaren för varje koordinat inkluderar en kvadratrot. Vi börjar bara med kvadrant 1 för att förenkla saker och ting. (Tips:Kom ihåg att kvadratroten ur 1 är 1, så dessa bråk kan förenklas till bara 1/2.)
"1, 2, 3" visar oss följden av tal under varje kvadratrot. För kvadrant 1:s x-koordinater räknar vi från 1 till 3, börjar vid den översta koordinaten och går ner.
Y-koordinaterna har samma täljare, men räknas från 1 till 3 i motsatt riktning, från botten till toppen.
Kvadrant 2 har samma koordinater som kvadrant 1, men x-koordinaterna är negativa.
Kvadrant 3 växlar x- och y-koordinaterna från kvadrant 1. Alla x- och y-koordinater är också negativa.
Liksom kvadrant 3 växlar kvadrant 4 också x- och y-koordinaterna från kvadrant 1. Men bara y-koordinaterna är negativa.
Du kanske vill referera vinklar i grader istället för radianer. För att göra det, börja vid 0 grader vid koordinat (1,0). Därifrån lägger vi till 30, 15, 15 och sedan 30. I kvadrant 1 lägger vi till 30 till 0 för att få 30, adderar 15 till 30 för att få 45, adderar 15 till 45 för att få 60 och lägger till 30 till 60 för att få 90.
Vi upprepar sedan processen för de återstående kvadranterna och lägger till 30, 15, 15 och 30 tills vi når slutet av cirkeln. Så kvadrant 4 kommer att ha vinklar som sträcker sig från 270 till 330 grader (se figur 10).
Kom ihåg att enhetscirkeln kan användas för att hitta två okända sidor av en rätvinklig triangel med en 30-graders vinkel och vars längsta sida, eller hypotenusa, är 7. Låt oss prova.
Notera var 30° är på enhetscirkeln. Använd den linjen och x-axeln för att skapa en triangel enligt följande.
I en enhetscirkel kommer varje linje som börjar i mitten av cirkeln och slutar vid dess omkrets att ha längden 1. Den längsta sidan av denna triangel kommer alltså att ha längden 1. Den längsta sidan av en rätvinklig triangel är även känd som hypotenusan. Punkten där hypotenusan vidrör cirkelns omkrets är vid √3/2, 1/2.
Så vi vet att triangelns bas (på x-axeln) har en längd på √3/2 och att triangelns höjd är 1/2.
Ett annat sätt att tänka på det är att basen är √3/2 gånger hypotenusans längd och höjden är 1/2 gånger hypotenusans längd.
Så om hypotenusan istället är en längd av 7, kommer vår triangelbas att vara 7 x √3/2 =7√3/2.
Triangeln kommer att ha en höjd av 7 x 1/2 =7/2.
Den här artikeln har uppdaterats i samband med AI-teknik, sedan faktagranskad och redigerad av en HowStuffWorks-redaktör.
Nu är det intressantTrigonometri tros ursprungligen ha utvecklats på 1:a århundradet f.Kr. att förstå astronomi, studiet av stjärnor och solsystemet. Det används fortfarande i rymdutforskning av sådana som NASA och privata rymdtransportföretag.
